Vectori

[alex2008]

Se da un patrulater \( ABCD \) cu \( M \) si \( N \) mijloacele laturilor \( AD \) si \( BC \). Stiind ca intersectia diagonalelor este mijlocul segmentului \( MN \), aratati ca \( ABCD \) este un paralelogram.

[Marius Mainea]

Daca O este intersectia diagonalelor \( AB=2MO=2NO=CD \) si

\( AB\parallel MO=ON\parallel CD \)

Asadar ABCD este paralelogram.

[alex2008]

AB=2MO ?

Eu cred ca se face prin vectori.

[Marius Mainea]

AB=2MO ?

Eu cred ca se face prin vectori .

M-am grabit!

[alex2008]

Cred ca ati confundat ca MO si NO sunt linii mijlocii.

[Marius Mainea]

Cred ca ati confundat ca MO si NO sunt linii mijlocii.

Nu este greseala, pana la urma sunt linii mijlocii:

Daca E respectiv F sunt mijloacele laturilor AB si CD atunci O(intersectia diagonalelor) se afla pe EF.

De fapt O este centru de greutate al patrulaterului.

Atunci MFNE este paralelogram si continuam ca mai sus.

[alex2008]

Nu inteleg. In oricare patrulater, fie ca este paralelogram sau nu, patrulaterul format de mijloacele laturilor sale este intotdeauna paralelogram. De unde rezulta apoi ca ABCD este paralelogram ? Eu cred in continuare ca se face prin vectori.

Nu este greseala, pana la urma sunt linii mijlocii:

Stiu, am vrut sa zic ca asta nu reiese din datele problemei.

[Marius Mainea]

De unde rezulta apoi ca ABCD este paralelogram ?

Pai daca G si H sunt intersectiile diagonalei BD cu EN respectiv MF, atunci BG=GO=OH=HD.

[Virgil Nicula]

Tinere (Alex2008), dupa parerea mea nu insista a se face prin vectori. Atata timp cat este usor sintetic, nu are rost vectorial. Utilizam vectori, numere complexe, analitica doar daca ne creaza un avantaj, de a o face mai repede sau mai frumos. Esential este a se face corect , rapid si cu redactare cat mai scurta. CORECT , REPEDE si pe piata cat mai rapid ! Iata ce inseamna competitivitate. In acest caz vectorial iese instantaneu. Deci, vectorial ! Insa este recomandabil sa apreciezi si o solutie sintetica, mai ales atunci cand este simpla.

[alex2008]

Nu insist sa se faca prin vectori, doar ca asa mi s-a parut ca se face aceasta problema. Pur si simplu mi-am dat cu parerea asa cum ati facut si dumneavoastra acum, domnule Nicula.

[Virgil Nicula]

Ca sa ai o parere, trebuia sa dovedesti ca ai incercat o solutie sintetica pentru a o compara cu o eventuala solutie vectoriala. Axiomatic, ai dreptul la o parere, ai dreptul sa o sustii, insa in cele din urma trebuie sa te supui majoritatii, iata legile democratiei pana si in disputele stiintifice.

[alex2008]

Nu stiu sigur daca am inteles ce vreti sa-mi spuneti, dar nu cred ca daca intr-o problema ai observat ca se face vectorial sau daca tu intuiesti ca se face vectorial trebuie mai sa incerci o rezolvare sintetica. Spun asta pentru ca am observat ca la olimpiada se da cel putin o problema care se face prin vectori si pentru ca acum tocmai mi-a iesit aceasta problema prin vectori fara sa incerc o rezolvare sintetica. Adica daca la olimpiada ti se cere sa demonstrezi teorema lui Pappus nu prea cred ca se invata o rezolvare sintetica la nivelul clasei a IX-a. Acum ma supun majoritatii si recunosc ca aceasta problema este mai usor de rezolvat sintetic.

[Marcelina Popa]

Se poate folosi proprietatea:

Daca A, B, C, D sunt puncte oarecare (nu neaparat varfurile unui patrulater), atunci segmentele care unesc mijloacele segmentelor [AB] si [CD], [AD] si [BC], respectiv [AC] si [BD], au toate trei acelasi mijloc .

E valabila si in spatiu. Pentru un tetraedru, s-ar formula asa:

Segmentele care unesc mijloacele muchiilor opuse ale tetraedrului au toate trei acelasi mijloc.

Asta se poate demonstra usor cu vectori de pozitie (aratam ca vectorii de pozitie ai mijloacelor celor trei segmente sunt egali). Se poate si fara vectori, insa rationamentul nu mai e la fel de general, trebuie luate mai multe cazuri (unele puncte coliniare etc).

Eu cred ca se face prin vectori .

Eu cred in continuare ca se face prin vectori .

Ca si cand ar exista o categorie de probleme care se rezolva obligatoriu prin vectori .

Problema se poate rezolva prin cel putin patru tipuri de metode:
- sintetic
- vectorial
- analitic
- cu numere complexe

[alex2008]

Vectorial :
Fie \( O_1 \) un punct oarecare din plan .
\( \Rightarrow \vec{O_1N}=\frac{\vec{O_1B}+\vec{O_1C}}{2} \)
\( \Rightarrow \vec{O_1M}=\frac{\vec{O_1A}+\vec{O_1D}}{2} \)
\( \Rightarrow \vec{O_1O}=\frac{\vec{O_1M}+\vec{O_1N}}{2} \Rightarrow \vec{O_1O}=\frac{\frac{\vec{O_1A}+\vec{O_1B}+\vec{O_1C}+\vec{O_1D}}{2}}{2} \Rightarrow \vec{O_1O}=\frac{\vec{O_1A}+\vec{O_1B}+\vec{O_1C}+\vec{O_1D}}{4} \)
Fie \( \frac{OA}{OC}=k_1 \) si \( \frac{OB}{OD}=k_2 \) \( \Rightarrow \vec{O_1O}=\frac{\vec{O_1A}+k_1\cdot \vec{O_1C}}{k_1+1} \) si \( \vec{O_1O}=\frac{\vec{O_1B}+k_2\cdot\vec{O_1D}}{k_2+1} \Rightarrow \frac{\vec{O_1B}+k_2\cdot \vec{O_1D}}{k_2+1}=\frac{\vec{O_1A}+k_1\cdot \vec{O_1C}}{k_1+1} \Rightarrow \vec{O_1D}=\frac{(k_2+1)\vec{O_1A}}{k_1+1}+\frac{k_1(k_2+1)\cdot \vec{O_1C}}{k_1+1}-k_2\cdot \vec{O_1B} \)
\( \Rightarrow \vec{O_1O}=\frac{\vec{O_1A}+\vec{O_1B}+\vec{O_1C}+\frac{(k_2+1)\vec{O_1A}}{k_1+1}+\frac{k_1(k_2+1)\cdot \vec{O_1C}}{k_1+1}-k_2\cdot \vec{O_1B}}{4} \)
\( \Rightarrow 4\cdot \vec{O_1O}=(\frac{k_2+1}{k_1+1}+1)\cdot \vec{O_1A}+(1-k_2)\cdot \vec{O_1B}+[\frac{k_1(k_2+1)}{k_1+1}+1]\cdot \vec{O_1C} \)
\( \Rightarrow 1-k_2=0 \) si \( \frac{k_2+1}{k_1+1}+1=\frac{4}{k_1+1} \)
\( \Rightarrow k_1=1 \) si \( k_2=1 \)

[Virgil Nicula]

Se da un patrulater \( ABCD \) cu \( M \) si \( N \) mijloacele laturilor \( AD \) si \( BC \) . Stiind ca

intersectia diagonalelor este mijlocul segmentului \( MN \) , aratati ca \( ABCD \) este un paralelogram .[/color]

Consideram originea sistemului de vectori in punctul \( O\in AC\cap BD \) . Notam vectorul

de pozitie \( \vec {OX}\equiv X \) al punctului \( X \) si \( \frac {OC}{OA}=m \) , \( \frac {OD}{OB}=n \) . Asadar \( C=-m\cdot A \) si \( D=-n\cdot B \) .

Se stie ca bimedianele \( (*) \) patrulaterului \( ABCD \) sunt concurente in centrul de greutate \( G \) al acestuia, adica

\( 4\cdot G=(A+D)+(B+C)=2\cdot (M+N)=(1-m)\cdot A+(1-n)\cdot B \) . Intersectia diagonalelor \( O \) este

mijlocul bimedianei \( MN \) , adica originea \( O \) este centrul de greutate pentru \( ABCD \) \( \Longleftrightarrow \) \( O\equiv G\ \Longleftrightarrow \)

\( (1-m)\cdot A+(1-n)\cdot B=O \) \( \Longleftrightarrow \) \( O\in AB\ \vee\ \{\ m=1\ \wedge\ n=1\ \} \) \( \stackrel {O\not\in AB}{\ \ \Longleftrightarrow\ \ } \) \( \{\ m=1\ \wedge\ n=1\ \}\ \Longleftrightarrow \)

\( OC=OA\ \wedge\ OD=OB\ \Longleftrightarrow\ ABCD \) este paralelogram.

[Beniamin Bogosel]

Inca o solutie vectoriala mai scurta ca a lui alex...
Din ipoteza notand cu \( O \) mijlocul diagonalelor avem
\( \vec{OA}+\vec{OD}=2\vec{OM}=-2\vec{ON}=-\vec{OC}-\vec{OB} \). De aici rezulta ca \( \vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}+\vec{OD}=0 \), adica \( \vec{OA}+\vec{OC}=0 \) si \( \vec{OB}+\vec{OD}=0 \) pentru ca diagonalele formeaza o baza pentru plan. Deci \( O \) este mijlocul comun al diagonalelor si concluzia e evidenta.

Solutia sintetica e si mai simpla pentru cunoscatori... Mijlocul \( O \) al lui \( MN \) este mijlocul segmentului determinat de mijloacele diagonalelor (se formeaza un paralelogram). Fie \( P, Q \) mijloacele lui \( AC,\ BD \) respectiv. Deoarece \( O \in AC\cap BD \) si \( O \) e mijlocul lui \( PQ \) rezulta ca \( P \in BD,\ Q \in AC \). Deci \( P=Q=O \) si din nou patrulaterul este paralelogram.

Inca una sintetica...
Se duc paralelele prin \( A,B \) la \( MN \) si dreaptele acestea intersecteaza pe \( BD, AC \) in \( Q,P \) respectiv. Atunci \( MO \) e linie mijlocie in triunghiul \( ADQ \) si \( AQ=2MO=MN \). Analog \( BP||MN \) si \( BP=MN \). Deci \( AQBP \) este paralelogram. Dar \( O \in AP \cap BQ \), deci singura posibilitate e \( A\equiv P,\ B \equiv Q \). Deci \( AB||MN \) si \( AB=MN \). De aici se arata usor ca patrulaterul e paralelogram.