Demonstratie la 1=2

[alex2008]

Se dau doua numere a si b egale diferite de 0 .
Rezulta \( a\cdot{a}=a\cdot{a} \)
si \( a\cdot{b}=b\cdot{b} \)
Le scadem si avem \( a\cdot{a}-a\cdot{b}=a\cdot{a}-b\cdot{b} \)
Rezulta \( a(a-b)=a^2-b^2 \)
Rezulta \( a(a-b)=(a-b)(a+b) \)
Impartim prin \( a-b \) si avem \( a=a+b \)
Rezulta \( a=2a \)
Impartim prin a si avem \( 1=2 \)

Unde am gresit ?

[Marcelina Popa]

Problema nu este de clasa a V-a, fiindca presupune cunoscuta formula
\(
a^2-b^2=(a-b)(a+b), \)
care se invata de-abia in clasa a VII-a.

[alex2008]

Da , dar cred ca cei din clasa a cincea isi dau seama ca \( (a+b)(a-b)=a(a-b)+b(a-b)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2 \).

[Marcelina Popa]

Si tu iti poti da seama ca sunt adevarate tot felul de teoreme de clasa a XI-a, daca ti le enunta cineva. Nu e totusi ok sa ti se propuna asemenea probleme la olimpiada, in clasa a IX-a.

A, nu stiu daca ai remarcat ca le trebuia de fapt nu ce ai scris tu, ci

\( a^2-b^2=a^2-ab+ab-b^2=a(a-b)+b(a-b)=(a-b)(a+b) \)

[Rhea]

Problema nu este de clasa a V-a...

Dar de ce nu e de clasa a V-a, Marcelina?

Alex ajunge la falsa egalitate 1=2 si intreaba unde s-a strecurat greseala pe parcursul operatiilor efectuate. La un moment dat, apare operatia:

Impartim prin a-b... etc.

Dar nu poti sa imparti prin (a-b), cand prin ipoteza a=b, deci a-b=0.

In clasa a V-a nu se invata deja ca nu ai voie sa imparti la 0? Cam atat ar trebui sa stii, cred, nu cunoscuta formula citata de tine.

Edit. Poti sa verifici si in clasa a V-a daca greseala nu s-a strecurat cumva inainte de impartirea la 0. Inmultesti (a-b)(a+b) - si ajungi la rezultatul: a^2 – b^2, deci poti sa vezi ca nu e o eroare acolo, chiar daca nu cunosteai formula.

[Marcelina Popa]

Tot ce am explicat noi aici poate fi inteles de un elev bun de clasa a V-a. Daca la asta va referiti, aveti dreptate.

[Quit]

Problema e geniala !!!!!!! Alex2008 e originala ?
Oricum as vrea sa-mi dau cu parerea referitor la ''formula'' discutata aici . Nu cred ca trebuie sa fii un elev genial in clasa a V-a ca sa-ti dai seama ca \( a^2-b^2=(a-b)(a+b) \) . Poate ca o astfel de problema nu s-ar da la olimpiada , dar notiunile necesare in rezolvarea ei trebuie stiute de un elev care merge la olimpiada (nu chiar la o faza foarte avansata) . Chiar am intalnit intr-o culegere de clasa a V-a (capitolul ''Teste pentru pregatirea olimpiadelor scolare'') problema : Folosind proprietatea de distributivitate a inmultirii fata de adunare si scadere aratati ca : \( (x+y)(x-y)=x^2-y^2 \), \( (\forall) x,y \in \mathb{N} \) , \( x\ge y \) .


Stiu ca propria-mi parere vine cam tarziu , dar abia acum am observat problema (recunosc ca poate nici nu m-as fi uitat daca nu m-ar fi instigat titlul problemei) .

[alex2008]

Sincer sa fiu nu e proprie problema ... (am auzit-o la un coleg in clasa si mi-a placut)

[Claudiu Mindrila]

Vezi si aici alte cateva "perle"

[Marcelina Popa]

Nu cred ca trebuie sa fii un elev genial in clasa a V-a ca sa-ti dai seama ca a^2-b^2=(a-b)(a+b) .

Ca sa-ti dai seama singur de chestia asta chiar trebuie sa fii genial, sa stii . Ca sa poti utiliza formula (lucru absolut suficient in problema lui Alex), trebuia sa fii doar informat.

Tocmai asta e problema. Exista o moda in invatamantul romanesc: in loc sa formam copiii, ii informam. Din dorinta de a propune probleme dificile la olimpiade, se aleg la clasele mici probleme care devin banale pentru un elev mai mare. Asta atrage dupe sine urmatoarele consecinte: profesorii ajung sa "vanda" copiilor mai mici fel de fel de "smecherii" matematice fara sa le explice cu adevarat; elevii ajung sa caute singuri formule si teoreme prin memoratoare si sa le utilizeze fara sa le poata demonstra etc. Mai grav, am intalnit profesori care predau toate formulele de calcul algebric la clasa a VI-a, in orele obisnuite, nu in cele de pregatire pentru olimpiada, si pun 3 in catalog copiilor care nu le invata.

Asta e motivul pentru care am capatat un soi de alergie la problemele de clasa a VII-a propuse drept probleme de-a V-a.

Chiar am intalnit intr-o culegere de clasa a V-a (capitolul ''Teste pentru pregatirea olimpiadelor scolare'') problema : Folosind proprietatea de distributivitate a inmultirii fata de adunare si scadere aratati ca : \( (x+y)(x-y)=x^2-y^2 , (\forall) x,y \in \mathb{N} , x\ge y . \)

Asta este, intr-adevar, o problema draguta si instructiva pentru clasa a V-a (si nu tocmai usoara).


P.S. Am intalnit elevi care invata materia inainte pe un an sau doi, de placere sau din curiozitate (sunt si aici pe forum asemenea elevi si au toata admiratia mea). Ei se uita insa la problemele propuse la clase mai mari. Nu-i nevoie sa introduci intr-o culegere de clasa a V-a probleme de-a VII-a special pentru ei, fiindca ei lucreaza direct din culegeri de-a VII-a.

[Marcelina Popa]

Alex, uite cum se putea formula problema ca sa fie ok pentru un elev de clasa a V-a si ca sa nu produca efectele secundare de care ma plangeam in mesajul de mai sus:

1). Demonstrati formula: \( (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \)

2). Ajutati-ma sa gasesc greseala din urmatorul rationament matematic:

Se dau doua numere \( a \) si \( b \) egale si diferite de 0 .
Rezulta \( a\cdot{a}=a\cdot{a} \)
si \( a\cdot{b}=b\cdot{b} \)
Le scadem si avem \( a\cdot{a}-a\cdot{b}=a\cdot{a}-b\cdot{b} \)
Rezulta \( a(a-b)=a^2-b^2 \)
Folosind formula de la punctul 1), obtinem: \( a(a-b)=(a-b)(a+b) \)
Impartim prin \( a-b \) si avem \( a=a+b \)
Rezulta \( a=2a \)
Impartim prin \( a \) si avem \( 1=2 \)

Unde am gresit ?