Teorema deMoivre-Laplace

[spx2]

Citesc dintr-o carte in care e prezentata fugitiv teorema deMoivre-Laplace.
Ea e enuntata astfel

\( \lim_{n\to \infty} P\(a\leq \frac{\mu - np}{\sqrt{npq}} \leq b\) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{a}^{b} e^{-\frac{t^2}{2}}dt \),

unde n este numarul de repetitii ale experimentului, p este probabilitatea producerii evenimentului, q este 1-p.

Problema este ca nu se prezinta modul de calcul al lui a si b (cel putin de unde citesc eu). Cum se calculeaza a si b ?
Deasemeni, integrala aceea retin ca nu se putea calcula. Exista aproximari numerice ale ei ? (Am vazut in alta carte ca la capat prezinta un tabel de valori pe care le ia aceasta integrala definita.)

[Alin Galatan]

Cum adica calcul a lui a si b. Alea sunt niste numere pe care le dai tu pentru a calcula care e probabilitatea ca variabila aia aleatoare sa fie intre a si b (cat vrei tu).
Cat despre integrala... da, se face prin metode numerice.
Pentru a te lamuri asupra lui a si b uite un exemplu discret:
Repartitia binomiala: sa zicem ca ai o urna cu 2 bile, una neagra, una alba, si faci 3 extrageri cu returnarea bilei (extragi, bagi la loc, extragi, bagi la loc, etc.)
Probabilitatea ca numarul de bile negre extrase sa fie "intre":
- 0 si 3 inclusiv, este ... 1 (aici a = 0, b = 3)
- 0 si 2 inclusiv, este ... \( (C_3^0 + C_3^1 + C_3^2)/8 \) (aici a = 0, b = 2)
- 1 si 1 inclusiv (adica sa ai exact o bila neagra extrasa) este \( C_3^1/8 \).
Asa ai si a si b din formula ta.
Spre exemplu, pentru repartitia notelor la un examen (faimosul clopot), atunci partea din stanga a egalitatii de la tine se traduce intuitiv "probabilitatea ca un elev sa aiba nota intre a si b este...". Ma rog, la note e caz discret, pe cand Gauss e continuu.
Sper sa nu bat campii, nu fac de mult timp probabilitati.

[spx2]

Cum adica calcul a lui a si b. Alea sunt niste numere pe care le dai tu pentru a calcula care e probabilitatea ca variabila aia aleatoare sa fie intre a si b (cat vrei tu).
Cat despre integrala... da, se face prin metode numerice.

Multumesc pentru confirmare.
Ma bucur ca se poate face, dar cum ?

[Alin Galatan]

O varianta simpla ar fi sa faci multe diviziuni pe Ox si sa faci suma Riemann.
Exista insa si alte tehnici complicate de integrare numerica, care nu isi prea au aici locul.
Cand o sa am timp, o sa pun niste metode la o alta sectiune.

[Dragos Fratila]

Poti folosi formule de cuadratura: trapez, Simpson, Gauss, etc.
Trebuie sa le fi facut pe la analiza numerica.

[Cezar Lupu]

Poti folosi formule de cuadratura: trapez, Simpson, Gauss, etc.
Trebuie sa le fi facut pe la analiza numerica.

Depinde si la astea de cuadratura de cat de buna este. De obicei la derivate mici, cum sunt cele enuntate mai sus de Dragos, ideal ar fi sa le folosim cu restul curat, adica formula sa fie exacta, ca sa zic asa.

P.S. Am pus deja o formula de cuadratura a lui Simpson-Cavalieri aici.

[spx2]

Poti folosi formule de cuadratura: trapez, Simpson, Gauss, etc.
Trebuie sa le fi facut pe la analiza numerica.

Depinde si la astea de cuadratura de cat de buna este. De obicei la derivate mici, cum sunt cele enuntate mai sus de Dragos, ideal ar fi sa le folosim cu restul curat, adica formula sa fie exacta, ca sa zic asa.

P.S. Am pus deja o formula de cuadratura a lui Simpson-Cavalieri aici.

Parca am scris niste cod pentru asta mai demult...am vrut sa-i fac niste test-case-uri sa ii pot verifica corectitudinea.
Daca se poate sa-mi dat niste test-case-uri in special pentru integrala sus-amintita va sunt recunoscator.
Codul parca arata binisor... Deci cred ca e si corect.
Derivatele sunt numerice, deci precizia depinde de alegerea h-ului.
Codul e aici http://perlhobby.googlecode.com/svn/tru ... n_rule.cpp.
Parca citisem prin Miron Nicolescu regula lui Simpson, asa o numea el. Seamana mult cu formula ta Simpson-Cavalieri.

[spx2]

Intre timp am gasit un tabel cu valorile integralei asteia daca \( b\to-\infty \).
Tabelul e aici http://rapidshare.com/files/170970032/scan0003.pdf.html
Pe mine ma interesa un tabel in care a si b sunt finite.
Stiti cumva de vreun tabel din acesta ?