Olimpiada Cluj 2004 - faza judeteana (1)

[Marcelina Popa]

Alexandra isi propune sa rezolve din "Gazeta Matematica" 210 probleme astfel: in prima zi o problema, apoi in fiecare zi, cu cate o problema mai mult decat in ziua precedenta.
a). In cate zile va termina Alexandra de rezolvat problemele?
b). Cristian, fratiorul Alexandrei, a rupt la intamplare 15 foi din gazeta. Justificati de ce suma numerelor cu care sunt notate paginile rupte este un numar impar.

Vasile Serdean, Cristian Pop

[miruna.lazar]

Punctul A

Sunt de rezolvat 210 pb. astfel :

1 zi : 1 pb
2 zi : Cu una mai mult
3 zi : Cu una mai mult decat cea precedenta
................................................................
................................................................

n zi : Cu una mai mult decat in ziua precenta

_____________________\( / \)______________________

In cate zile au fost facute problemele?

_____________________\( // \)_______________________



Fie n = nr de zile necesar rezolvarii tuturor problemelor .

=> 210 = 1+ 2 + 3 + ...+ n
=> 210 = \( \frac {(1+n)\cdot n } {2} \) / \( \cdot 2 \)
=> \( 2 \cdot {210} \) = \( n\cdot { ( n + 1 ) } \)
=> 420 = \( {n} \cdot { ( n + 1) } \)
=> \( n \cdot{ ( n + 1)} = 420 \)
=> \( {20 }\cdot {21} = 420 \)
=> n = 20

Raspuns : Alexandra rezolva problemele in 20 de zile

[naruto]

Asa mi-a dat si mie la punctul a).

Punctul b). Cand rupem o foaie ea are doua numere pe ea, unul pe o parte si celalat pe partea cealalta, a si a+1. Suma lor este 2a+1 => este un numar impar. Asta pentru fiecare foaie. Adunam de pe cele 15 foi => in total un numar impar, fiindca adunam 15 numere impare.

[miruna.lazar]

Si eu am obtinut la fel dar n-am mai putut sa scriu ca s-a blocat computerul.