Fie \( ABCD \) un patrulater circumscriptibil si \( I \) centrul cercului sau inscris astfel incat \( I \notin AC \). Fie \( E \) intersectia diagonalelor patrulaterului. Perpendiculara pe \( BD \) ce trece prin \( E \) intersecteaza dreptele \( IA,\ IC \) in \( P,\ Q \) respectiv.
sa se arate ca \( PE=EQ \).
Olimpiada Polonia 2004
Patrulater circumscriptibil, PE=EQ - ol. poloneza
Moderators: Laurian Filip, Filip Chindea, maky, Cosmin Pohoata, Virgil Nicula
-
Filip Chindea
- Newton
- Posts: 324
- Joined: Thu Sep 27, 2007 9:01 pm
- Location: Bucharest
"Sketch" de solutie:
Fie \( d \) - perpendiculara din \( I \) pe \( BD \). Notam \( R, S, T, U \) punctele de tangenta ale \( \omega(I) \) cu laturile \( AB, BC, CD, DA \) respectiv, si \( V \in d \cap AC \).
O scurta observatie arata ca este suficient ca \( (A, C, E, V) \) sa fie armonica. Daca aratam ca \( V \equiv V^{\prime} \in AC \cap RS \cap TU \), problema este solutionata conform unei proprietati cunoscute intr-un patrulater circumscriptibil.
Insa, polara lui \( V^{\prime} \) este \( BD \), deci \( V^{\prime}I \perp BD \), de unde \( d = V^{\prime}I \). In final, \( V^{\prime} \in d \cap AC \), iar concluzia urmeaza.
Fie \( d \) - perpendiculara din \( I \) pe \( BD \). Notam \( R, S, T, U \) punctele de tangenta ale \( \omega(I) \) cu laturile \( AB, BC, CD, DA \) respectiv, si \( V \in d \cap AC \).
O scurta observatie arata ca este suficient ca \( (A, C, E, V) \) sa fie armonica. Daca aratam ca \( V \equiv V^{\prime} \in AC \cap RS \cap TU \), problema este solutionata conform unei proprietati cunoscute intr-un patrulater circumscriptibil.
Insa, polara lui \( V^{\prime} \) este \( BD \), deci \( V^{\prime}I \perp BD \), de unde \( d = V^{\prime}I \). In final, \( V^{\prime} \in d \cap AC \), iar concluzia urmeaza.
Life is complex: it has real and imaginary components.