Alta varianta a problemei fluturelui... (Kvant)

[Beniamin Bogosel]

Fie \( A \) piciorul perpendicularei coborate din centrul unui cerc dat pe o dreapta data \( d \). Pe aceasta dreapta se iau punctele \( B \) si \( C \), astfel incat \( AB=AC \). Prin punctul \( B \), respectiv \( C \) de duc doua secante arbitrare dintre care una taie cercul in punctele \( P,Q \), iar a doua in punctele \( M,N \). Dreptele \( PM \) si \( QN \) intersecteaza a doua oara dreapta \( d \) in punctele \( R \), respectiv \( S \).
Sa se demonstreze ca \( AR=AS \).

[Filip Chindea]

Si aceasta problema poate fi solutionata cu un pic de tehnica (la fel ca teorema initiala).

Pentru a evita eventualele neconcordante, presupunem ca \( PM, \ QN \) se taie in interiorul cercului \( \mathcal{C} \); de asemenea, fie \( \{T, \ U\} = d \cap \mathcal{C} \), astfel ca ordinea punctelor pe \( d \) este \( T - C - R - A - S - B - U \).

Acum, daca \( P(TQMU) \) este \( r \)-corelativ, utilizand expresia trigonometrica si apoi egalitatea de unghiuri care subintind aceste coarde, deducem si ca \( N(TQMU) \) este \( r \)-corelativ. Taindu-le cu dreapta \( d \), concluzionam

\( \frac{CT}{CR} \ : \ \frac{UT}{UR} = \frac{ST}{SB} \ : \ \frac{UT}{UB} (= |r|) \).

O observatie de un moment ne arata ca \( TC = UB \). Deci \( \frac{UR}{CR} = \frac{ST}{SB} \), adica \( (AU + AR)(AB - AS) = (AT + AS)(AC - AR) \), de unde imediat concluzia.