JBTST IV 2010, Problema 4

[Andi Brojbeanu]

In plan se considra 51 de puncte de coordonate intregi, astfel incat distantele dintre oricare doua puncte sa fie numere naturale. Sa se arate ca cel putin \( 49% \) dintre distante sunt pare.

[Spataru Stefan]

Vom considera sistemul intr-unul din puncte. Atunci acesta va avea coordonatele (0,0). Presupunem ca vom avea un punct de coordonate(2a+1, 2b+1). Calculand patratul distantei dintre aceste 2 puncte vom obtine M4+2 adica un patrat perfect este congruent cu 2 modulo 4 ceea ce este imposibil. Presupunem acum ca vom cate un punct atat de coordonatee( 2x+1, 2 y) si altul de coordonate (2p , 2q+1) Vom obtine ca distanta dintre aceste 2 puncte la patrat este M4 + 2. Deci nu putem avea puncte din ambele cateogorii.
Din aceste consideratii obtinem ca punctele se impart in 2 cateogorii. Unele de coordonate(2m,2n) si altele de coordonate( 2i,2j+1). Este evident ca distanta dintre oricare 2 puncte din aceeasi cateogrie este para. Notand cu k numarul punctelor din prima cateogrie va rezulta ca vor fi 51-k din a doua categorie. Cu consideratiile facute mai sus dupa mai multe calcule vom obtine cerinta problemei.