Trei probeleme de geometrie SHL-2010

[Andi Brojbeanu]

1. Tetraedrul \( ABCD \) are volumul \( \frac{1}{12} \), \( \angle{ABC}=60\textdegree \) si \( AD+BC+AB\sqrt{3}=3 \). Calculati lungimile muchiilor tetraedrului.
Dan Nedeianu, Drobeta Turnu Severin
2. Fie tetraedrul regulat \( VABC \) de latura \( a \) si punctele \( M, N \) pe muchiile \( VB, VC \), astfel ca \( VM=\frac{a}{3} \) si \( VN=\frac{a}{6} \). Daca \( Q \) este proiectia lui \( V \) pe planul \( (AMN) \), iar \( O \) este proiectia lui \( V \) pe planul \( (ABC) \), calculati lungimile segmentelor \( VO \) si \( VQ \), precum si o functie trigonometrica a unghiului dintre dreptele \( VQ \) si \( VO \).
Gheorghe Iurea, Iasi
3. Fie piramida triunghiulara regulatat \( DABC \) cu latura bazei \( a \). Punctele \( M \) si \( N \) sunt mijloacrele laturilor \( AB \), respectiv \( AC \), iar O este centrul bazei. Notam \( E \) intersectia dreptelor \( MN \) si \( AO \). Stiind ca unghiul dintre planul \( (DMN) \) si planul bazei este de \( 30\textdegree \), calculati distanta de la \( O \) la \( AD \) si sinusul unghiului planelor \( (BED) \) si \( (CED) \).
Gheorghe Molea

[Andi Brojbeanu]

1.Notam \( AB=a, BC=b, AD=c \).
Atunci \( \mathcal{V}_{ABCD}=\frac{h_D\cdot \mathcal {S}_{ABC}}{3}=\frac{\frac{absin(ABC)}{2}\cdot h_D}{3}=\frac{abh_D\sqrt{3}}{12}=\frac{1}{12}\Rightarrow abh_D\sqrt{3}=1 \).
Dar \( h_d\le c\Rightarrow abc\sqrt{3}\ge abh_D\sqrt{3}=1 \).
Cu inegalitatea \( MA-MG \) obtinem ca \( a\sqrt{3}+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc\sqrt{3}}\ge 3 \), deci avem egalitate, adica \( a=\frac{\sqrt{3}}{3}, b=c=1 \) si una dintre celelalte muchii este perpendiculara pe planul \( (ABC) \). Apoi se calculeaza si lungimile acestor muchii.