Sa se determine cel mai mare numar natural \( n \) pentru care urmatoarea afirmatie este adevarata: "pentru orice colorare a planului cu \( n \) culori exista o dreapta in plan care contine cel putin \( n-1 \) culori".
Vasile Pop
Concursul Nicolae Paun editia 2009 subiectul IV
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip
-
Andi Brojbeanu
- Bernoulli
- Posts: 294
- Joined: Sun Mar 22, 2009 6:31 pm
- Location: Targoviste (Dambovita)
-
moldovan ana
- Pitagora
- Posts: 54
- Joined: Wed Sep 23, 2009 4:10 pm
Cu permisiunea dvs.demonstrez ca problema are solutie pt.n=4 si o lasam deschisa pt. n>=5 astfel:
luam 3 puncte din plan A,B,C. colorate in mod diferit cu culorile a,b,c
1.daca sunt coliniare problema e rezolvata
2.daca nu sunt coliniare atunci putem forma un triunghi ABC cu laturile colorate astfel :
AB cu culoarea a sau b;BC cu culoarea cu b sau c; CA cu culoarea c sau a,
acum putem lua al 4-lea punct D colorat in culoarea d si -l unim cu celelalte trei formand astfel 3 segmente DA,DB,DC ce au capetele colorate diferit doua cate doua ; dar in acest mod sigur unul din segmente taie o latura a triunghiului intr-un punct M ce are o culoare diferita de a capetelor sale si atunci dreapta DM indeplineste concluzia problemei
luam 3 puncte din plan A,B,C. colorate in mod diferit cu culorile a,b,c
1.daca sunt coliniare problema e rezolvata
2.daca nu sunt coliniare atunci putem forma un triunghi ABC cu laturile colorate astfel :
AB cu culoarea a sau b;BC cu culoarea cu b sau c; CA cu culoarea c sau a,
acum putem lua al 4-lea punct D colorat in culoarea d si -l unim cu celelalte trei formand astfel 3 segmente DA,DB,DC ce au capetele colorate diferit doua cate doua ; dar in acest mod sigur unul din segmente taie o latura a triunghiului intr-un punct M ce are o culoare diferita de a capetelor sale si atunci dreapta DM indeplineste concluzia problemei