Exista o infinitate de libere de patrate cu diferenta 1

[Cezar Lupu]

Se considera sirul \( (l_{n})_{n\geq 1} \), \( l_{1}=1, l_{2}=2, l_{3}=3, l_{4}=6 \) sirul numerelor libere de patrate. Sa se arate ca exista o infinitate de indici\( n \) pentru care \( l_{n+1}-l_{n}=1 \).

[Dragos Fratila]

5 nu e in lista?

[Dragos Fratila]

posibile generalizari:

1. pt orice k sa se dem ca exista o inf de perechi de numere libere de patrate la distanta k

2. pt orice k sa se dem ca exista progresii aritmetice oricat de mari de numere libere de patrate cu ratia k

s-ar putea sa nu fie adevarate... m-am gandit ca seamana putin problema cu teorema lui Szemeredi si cu teorema Tao & Green

[Dragos Fratila]

O posibila abordare (poate e proasta) ar fi de evaluat o suma de genul:
\( \sum_{k\ge1}|\mu(k)\mu(k+1)| \)

am vazut ca Tao & Green au folosit o chestie asemanatoare (cu alta functie in loc de \( \mu \), evident) pt dem teoremei Green-Tao

[lasamasatelas]

posibile generalizari:

1. pt orice k sa se dem ca exista o inf de perechi de numere libere de patrate la distanta k

2. pt orice k sa se dem ca exista progresii aritmetice oricat de mari de numere libere de patrate cu ratia k

s-ar putea sa nu fie adevarate... m-am gandit ca seamana putin problema cu teorema lui Szemeredi si cu teorema Tao & Green

Genralizarea 1 e buna dar 2 nu e. De ex. n,n+1,n+2n+3 nu pot fi toate libere de patrate pt. ca unul din ele e divizibil cu 4. Generalizarea corecta ar fi urmatoarea:

Fie \( a_1<\ldots<a_n \) numere naturale si fie \( A=\{n\in\mathbb{N}^*{\mid}n+a_1,\ldots,n+a_k\text{~libere~de~patrate\} \). Atunci \( A \) e vida daca \( {\exists}p \) prim a.i. \( \{{\hat{a_1},\ldots\hat{a_k}\}={\mathbb}Z_{p^2} \) si este infinita in caz contrar.

Mai mult, se arata ca daca pt. un prim \( p \) \( m_p \) e cardinalul multimii \( \{{\hat{a_1},\ldots\hat{a_k}\}\subseteq{\mathbb}Z_{p^2} \) atunci densitatea \( \lim\frac{\mid\{x{\in}A{\mid}x{\leq}n\}\mid}n \) exista si este egala cu \( \prod_p(1-\frac{m_p}{p^2}) \). (Nota: pt. \( p \) suficient de mare, in particular cand \( p^2>a_k-a_1 \), avem \( m_p=k \).)