Problema 4 , lista scurta 2009

[alex2008]

Fie \( n \) un numar natural nenul si \( a_1,a_2,...,a_n \) numere intregi astfel incat \( a_1+a_2+...+a_n=15k\ ,\ k\in \mathbb{Z} \). Aratati ca \( a_1^5+a_2^5+...+a_n^5 \) se divide cu \( 15 \).

Marian Teler

[Marius Mainea]

Folosim relatiile (Fermat): \( x^5-x \) se divide la 5 si \( x^3-x \)se divide la 3 pentru orice x intreg.

Asadar \( \sum {a_k^5}=\sum {(a_k^5-a_k)}+\sum {a_k} \) se divide la 5 si
\( \sum {a_k^5}=\sum {(a_k^5-a_k^3)}+\sum {(a_k^3-a_k)}+\sum {a_k} \) se divide la 3.