Puncte importante in triunghi

[BogdanCNFB]

Aratati ca într-un triunghi oarecare dreapta d determinata de punctul lui Nagel si punctul lui Gergonne este paralela cu o latura a triunghiului daca si numai daca punctul lui Feuerbach apartine medianei triunghiului ce trece prin vârful triunghiului opus laturii paralele cu d (punctul lui Nagel este punctul de intersectie al celor trei drepte determinate de câte un vârf al triunghiului si punctul de tangenta al cercului exînscris triunghiului cu latura opusa vârfului considerat; punctul lui Gergonne este punctul de intersectie al celor trei drepte determinate de câte un vârf al triunghiului si punctul de tangenta al cercului înscris în triunghi cu latura opusa vârfului considerat; punctul lui Feuerbach este punctul de tangenta dintre cercul înscris si cercul celor noua puncte al lui Euler corespunzatoare triunghiului considerat).

[Virgil Nicula]

Foarte interesant si frumos rezultat. De unde ai problema asta ? Proprie sau ne indici sursa, te rog !
Iti spun doar ca cele doua proprietati sunt echivalente cu aceeasi relatie metrica \( a(b+c)=b^2+c^2 \) .

[BogdanCNFB]

Problema a fost PROPUSA (nu neaparat acceptata) la Concursul R.M.G. de catre rusul Evgeniy Kulanin, Moscova, Rusia in anul 2007. Din pacate nu am inca o rezolvare.

[Virgil Nicula]

Pai era greu sa accepti o asemenea problema intr-un concurs RMG. Inseamna ca si solutia rusului a contribuit la respingerea acesteia dand masura dificultatii problemei propuse. Multumesc pentru informatie.

[Virgil Nicula]

Bogdane, iti ofer un mic cadou, mai ales ca "din pacate" nu aveai o solutie. Mi-a placut mult aceasta sintagma ...

Aratati ca într-un triunghi \( ABC \) dreapta \( N\Gamma\ \parallel\ BC\ \Longleftrightarrow\ F\in (AM) \) , unde \( M \) - mijlocul

laturii \( [BC] \) , \( N \) - punctul lui Nagel , \( \Gamma \) - punctul lui Gergonne si \( F \) - punctul lui Feuerbach .

[Din lista scurta a concursului R.M.G. (Revista de Matematica din Galati) din 2007].

Demonstratie. Vom arata ca \( \underline{\overline{\left\|\ N\Gamma\ \parallel\ BC\ \Longleftrightarrow\ a(b+c)=b^2+c^2\ \Longleftrightarrow\ F\in (AM)\ \right\|}}\ . \)

Notam a doua intersectie \( L \) a cercului Euler cu mediana \( AM \) , ortocentrul \( H \) , \( D\in AH\cap BC \)

si mijlocul \( E \) al segmentului \( [AH]\ . \) Se stie ca punctele \( M \) , \( D \) , \( E \) apartin cercului Euler si din puterea

punctului \( A \) fata de acest cerc se obtine : \( AE\cdot AD=AL\cdot AM \) \( \Longleftrightarrow \) \( R\cos A\cdot h_a=AL\cdot m_a \) \( \Longleftrightarrow \)

\( 4Rh_a\cdot\cos A=4m_a\cdot AL \) \( \Longleftrightarrow \) \( 2bc\cdot\cos A=4m_a\cdot AL \) \( \Longleftrightarrow \) \( \overline{\underline{\left\|\ AL=\frac {b^2+c^2-a^2}{4m_a}\ \right\|}}\ . \) Deci

\( LM=AM-AL=\frac {4m_a^2-\left(b^2+c^2-a^2\right)}{4m_a}=\frac {2\left(b^2+c^2\right)-a^2-\left(b^2+c^2\right)+a^2}{4m_a} \) , adica \( \underline{\overline{\left\|\ LM=\frac {b^2+c^2}{4m_a}\ \right\|}}\ . \)

\( \odot\ \ \overline{\underline{\left\|\ N\Gamma\ \parallel\ BC\ \right\|}}\ \Longleftrightarrow\ \frac {p-a}{p}=\frac {(p-b)(p-c)}{\sum (p-b)(p-c)}\ \Longleftrightarrow\ \frac {p}{(p-a)}=1+\frac {(p-a)[(p-b)+(p-c)]}{(p-b)(p-c)}\ \Longleftrightarrow \)

\( \frac {p}{(p-a)}-1=\frac {a(p-a)}{(p-b)(p-c)}\ \Longleftrightarrow\ \underline{\overline{\left\|\ (p-a)^2=(p-b)(p-c)\ \right\|}}\ \Longleftrightarrow\ \underline{\overline{\left\|\ a(b+c)=b^2+c^2\ \right\|}}\ . \)

\( \odot\ \ \underline{\overline{\left\|\ F\in AM\ \right\|}}\ \Longleftrightarrow\ L\in AM\cap w \) , unde \( w=C(I,r)\ . \) Notam \( \{L,S\}=AM\cap w \) , unde \( L\in (AS)\ . \)

Din \( AL=\frac {b^2+c^2-a^2}{4m_a} \) si \( LM=\frac {b^2+c^2}{4m_a} \) obtinem \( p_w(A)=(p-a)^2=AL\cdot AS \) \( \Longrightarrow \) \( AS=\frac {4m_a(p-a)^2}{b^2+c^2-a^2} \) .

Asadar, \( MS=MA-AS=m_a-\frac {4m_a(p-a)^2}{b^2+c^2-a^2} \) , adica \( MS=\frac {2m_a\left[a(b+c)-a^2-bc\right]}{b^2+c^2-a^2} \) . De asemenea,

\( p_w(M)=\frac {(b-c)^2}{4}=MS\cdot ML=\frac {2m_a\left[a(b+c)-a^2-bc\right]}{b^2+c^2-a^2}\cdot \frac {b^2+c^2}{4m_a} \) , adica \( \left(b^2+c^2-a^2\right)(b-c)^2= \)

\( 2\left(b^2+c^2\right)\left[a(b+c)-a^2-bc\right]\ \Longleftrightarrow\ \left[a(b+c)-\left(b^2+c^2\right)\right]^2=0\ \Longleftrightarrow\ \underline{\overline{\left\|\ a(b+c)=b^2+c^2\ \right\|}}\ . \)

Observatie. Apropos de subiectul topicului "Puncte importante intr-un triunghi". Pentru cei care nu cunosc

semnificatiile punctelor remarcabile mentionate in enuntul problemei propuse le recomand sa consulte Google

unde, spre surprinderea lor, vor intalni cel putin 100 de asemenea puncte ceea ce inseamna ca triunghiul a fost

si ramane o preocupare de secole a multor matematicieni, multi dintre ei cu rezultate remarcabile la nivel inalt.

In demonstratie am folosit urmatoarele relatii metrice dintr-un triunghi care se pot dovedi fara dificultate :

\( ab+bc+ca=p^2+\sum(p-b)(p-c)=p^2+r(4R+r)\ \ ;\ \ IA^2=\frac {bc(p-a)}{p}\ . \)