mateforum.ro

Sa se demonstreze ca orice numar natural \( N \) se poate scrie in mod unic sub forma \( N=\sum _{i=1} ^ m F_{k_i} \), unde\( F_i \) este al \( i \)-lea numar Fibonacci, iar \( k_i\geq 2,k_{i+1}>k_{i}+1, \forall i\in \{1,2,\dots,m-1\} \).

O solutie se gaseste aici.

Ideea de rezolvare e ca cea de aici.

Fie \( f:R \to (0,\infty) \) o functie integrabila a.i. \( \lim_{x \to \infty} {\int^x_0 f(t) dt}= \infty \). Sa se arate ca \( \lim_{x \to \infty} {\frac{1}{x} \int^x_0{(x-t)f(t)dt}}=\infty \).

Gabriel Dospinescu

Fie \( a \in (0,1) \cup (1,\infty) \) un numar real. Aratati ca nu exista functii \( f:R \to R \) care admit o primitiva \( F \) a.i. \( a^F \) sa fie primitiva pe \( R \) a lui \( a^f \).

Marius Ghergu

Care teorema a lui Leibniz, mai exact?

Despre aceasta problema si alte aplicatii ale poligoanelor echiunghiulare se poate citi in GMB nr.11/2002, in articolul semnat de Titu Andreescu si Bogdan Enescu.

Banuiesc ca este in legatura cu problema propusa de Cristinel Mortici la ONM 1996: Fie A,B \in M_2 (R) doua matrice a.i. \det(AB+BA) \leq 0 . Demonstrati ca avem inegalitatea \det(A^2+B^2) \geq 0 . Aici, ca si acolo, pornim de la relatia \det(X+Y)+ \det(X-Y)=2( \det X+ \det Y) si folosim polinomul f...

\( e \) .

Ar trebui sa citesti aici...

Fie\( f:[0,1]\to[0,1] \) o functie concava de clasa \( C^1 \) astfel incat \( f(0)=f(1)=0 \). Demonstrati ca lungimea graficului functiei \( f \) nu depaseste \( 3 \).

Fie \( a \) si \( b \) numere naturale strict pozitive si prime intre ele. Demonstrati ca:
\( \int^1_0{\(\{ax\}-\frac{1}{2} \)\(\{bx\}-\frac{1}{2} \) dx}=\frac{1}{12ab} \), unde \( \{x\} \) este partea fractionara a numarului \( x \).

Daca \( f \) este o functie derivabila pe un interval \( I \), atunci \( A=\{ \frac{f(x)-f(y)}{x-y},\ x \neq y,x,y \in I \} \) este o submultime densa a lui \( f^{\prime}(I) \).

Observatie:S-a dat la ONM 1996.
O aplicatie a acestei probleme este problema 3 de la ONM 2008, clasa a XI-a.

Discutia asta a mai fost pe site. Nu trebuie incurajat tocitul unor formule (fara a le intelege), altul e scopul matematicii. Si oricat ar fi de populara folosirea derivatelor la clasa a 9-a, la olimpiada, nu ar trebui sa procedam asa si aici.

Fie \( p, q \) prime, \( p,q>2 \). Demonstrati ca \( (\mathbb{Z}_{pq}^*, \cdot) \) nu este ciclic.

Problema este de la ONM 2006 si este propusa de I. Savu. Solutie Din ipoteza rezulta ca H=g^{-1}Hg,\forall g \in G . Atunci f:H \to H,f(h)=g^{-1}hg este binedefinita si bijectiva. Cum f duce 0 in 0 , atunci f_{|H^*} este tot bijectie, deci f^{(p-1)!}=1_H . Avem g^{-(p-1)!}xg^{(p-1)!}=x, x \in H sau ...

C^k_n
\( C^k_n \)