mateforum.ro

Problema 24

Sa se afle \( n\in\mathb{N} \) din egalitatea :
\( n^2+n+1000^2=1+2+3+...+1999 \)

2008^{2008}=2008^{2007}\cdot 2008=2008^{2007}\cdot(2009-1)=2009\cdot 2008^{2007}-2008^{2007}=2009\cdot 2008^{2007}-2008^{2006}\cdot 2008=2009\cdot 2008^{2007}-2008^{2006}(2009-1)= =2009\cdot 2008^{2007}-2009\cdot 2008^{2006}-2008^{2006}=...=2009\cdot 2008^{2007}-2009\cdot 2008^{2006}-2009\cdot 2008...

Problema 21
Sa se arate ca suma \( 2001^p+2001^p+...+2001^p \) , care are \( 2000 \) de termeni , este divizibila cu \( 87\cdot 10^3 \) , unde p este un numar natural nenul .

\( 10a+b=ab+a+b \Leftrightarrow 9a=ab \Leftrightarrow b=9 \Leftrightarrow A=\{19,29,39,49,59,69,79,89,99\} \Leftrightarrow \) Card \( A=9 \)

\( AB+AD+BD=AC+AD+CD \Leftrightarrow AB+BD=AC+CD \)

Presupunem ca \( DB<DC \)sau \( DB>DC \) sau \( DB=DC \)

\( DB<DC \Leftrightarrow AC>AB \Leftrightarrow AB+BD<AC+CD \)

\( DB>DC \) analog

\( DB=DC \Leftrightarrow AC=AB \Leftrightarrow AB+BD=AC+CD \)

A ... si chestia asta cu radicalii merge numai daca numerele sunt pozitive (\( a\le 4 \Rightarrow \sqrt{a}\le 2 \) doar daca \( a>0 \)) . Altfel nu merge , nu ?

Imi cer scuze daca n-o sa fie bine dar e o rezolvare la nivelul clasei a VI-a Din ce-am studiat inainte cu radicalii : a\le 1 \Rightarrow \sqrt{a}\le 1 a\le 1 \Rightarrow 1+b\le 5 \Rightarrow b\le 4 \Rightarrow \sqrt{b}\le 2 a+b\le 5 \Rightarrow 5+c\le 14 \Rightarrow c\le 9 \Rightarrow \sqrt{c}\le 3...

Stiu ca in clasa a V-a nu se invata despre numerele intregi , dar la nivelul clasei a VI-a problema 16 ar fi fost mai frumoasa astfel :
Care este rezultatul produsului \( (10000-1^4)\cdot(10000-2^4)\cdot...\cdot(10000-n^4) \)
Vreau sa spun ca astfel nu s-ar mai vedea atat de repede ca produsul este 0 .

Problema 17
Fie numarul \( p=13+13^2+13^3+13^4+...+13^{2000} \) . Aratati ca este divizibil prin 10 grupand termenii in doua moduri .

Merge chiar in trei moduri , dar al treilea mod se aseamana putin cu unul din primele doua .

Problema 15
Catul impartirii numerelor naturale a si b este 5 , iar restul este 6 . Aratati ca \( a+b \ge 48 \) . Pentru care numere a si b avem egalitate ?

x\ y\ z\ 0+ \ \ \ \underline{x\ y\ z} \ 2\ 0\ 0\ 2 \Rightarrow z=2 x\ y\ 2\ 0+ \ \ \ \underline{x\ y\ 2} \ 2\ 0\ 0\ 2 \Rightarrow y=8 x\ 8\ 2\ 0+ \ \ \ \underline{x\ 8\ 2} \ 2\ 0\ 0\ 2 \Rightarrow x=1 \Rightarrow \overline{xyz}=182

Problema e geniala !!!!!!! Alex2008 e originala ? Oricum as vrea sa-mi dau cu parerea referitor la ''formula'' discutata aici . Nu cred ca trebuie sa fii un elev genial in clasa a V-a ca sa-ti dai seama ca a^2-b^2=(a-b)(a+b) . Poate ca o astfel de problema nu s-ar da la olimpiada , dar notiunile nec...

Problema 13
Sa afle cel mai mic numar natural de doua cifre cu proprietatea ca suma dintre patratul si cubul lui este un patrat perfect .

Nu-i chiar atat de grea ...
\( 7^n+7^{n+1}+7^{n+2}+7^{n+3}=7^n(1+7+49+343)=7^n\cdot400 \) .

Problema 10
\( b(b+1) \) este intotdeauna par . Deci \( 2^a+1 \) este par deci \( 2^a \) este impar . Singura putere impara a lui 2 este 1 , deci \( a=0 \) . Rezulta \( b(b+1)=2 \) , adica :
1) \( b=2 \) , \( b+1=1 \) , fals
2) \( b=1 \) , \( b+1=2 \)
Deci \( a=0 \) si \( b=1 \)

Scuze , nu prea am mai avut timp sa stau la calculator ... :) , plecat la bunici ... Problema 11 Un numar de patru cifre are primele doua cifre identice , iar cifra unitatilor 5 . Acest numar se imparte la un numar de doua cifre si se obtine restul 98 . Sa se afle deimpartitul , impartitorul si catu...