mateforum.ro

Fie \( A \subset \mathbb{N},\ |A|=\infty \). Sa fie \( \tau_{A}(n)=|\{x \in A:\ x|n\}| \). Sa se construieasca o multime \( A \) pentru care \( \displaystyle{\sum_{n \leq x}\tau_{A}(n)=x+O(\log\log x)} \) si sa se arate ca nu exista \( A \) astfel incat \( \displaystyle{\sum_{n \leq x}\tau_{A}(n)=x+o(\log\log x)} \).

De unde vine relatia:
\( \int_{x=0}^1<f(x),f(x-t)>=\int_{x=0}^1<f(x+t),f(x)>=\int_{x=0}^1<f(x),f(x+t)> \)?

Fie \( f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^2 \) o functie continua pentru care avem \( f(x)=f(x+1) \forall x \) si fie \( t \in [0,1/4] \). Sa se arate ca exista \( $x$ \) astfel incat vectorul \( $\vec{f(x-t)f(x+t)}$ \) sa fie perpendicular pe vectorul \( \vec{f(x)f(x+1/2)} \).

Fie \( A \) un subgrup a lui \( $S_n$ \) şi fie \( G \)un subgrup normal a lui \( A \) care este tranzitiv. Să se arate că \( $|A:G| \leq 5^{n-1}$ \).

Observatie: Daca G este subgrup a lui \( $S_H$ \), acesta se numeste tranzitiv daca pentru orice \( a,b \in H \) exista \( \sigma \in G: \sigma(a)=b \).