mateforum.ro

Fie multimea \( A=\left\{x^2-3y^2 |x,y\in Z\right\} \).
a) Demostrati ca \( (x^2-3y^2)(a^2-3b^2)=(xa+3yb)^2-3(xb+ya)^2 \quad \forall a,b,x,y \in R \);
b) \( 0\in A, \quad 2 \not \in A \);
c) \( 6^n\in A, \quad \forall n\in{\mathbb N}^* \).

OLM Vrancea 2008

b) Evident \( 0 \in \mathbb Z \) (pentru \( x=y=0 \)). Apoi, presupunând, prin absurd, că există \( x,y \in \mathbb Z \) astfel încât \( x^2-3y^2=2 \), ar rezulta că \( x^2 \) dă restul 2 la împărţirea cu 3, ceea ce este imposibil, întrucât orice pătrat perfect este fie de forma \( 9p \), fie de forma \( 3p+1 \), unde \( p \in \mathbb Z \).
c) Pentru \( x=3, \ y=1 \) rezultă \( 6 \in A \). Folosind inducţia matematică şi punctul a), obţinem că \( 6^n \in A \) pentru orice \( n \in \mathbb N^* \).