mateforum.ro

Fie \( f:[a,b]\rightarrow[a,b] \) o functie care admite primitive. Sa se arate ca nu exista \( A, B\subseteq [a,b] \) nevide si disjuncte cu \( A\cup B=[a,b] \) astfel incat \( f(A)\subseteq B \) si \( f(B)\subseteq A \).

Se pare ca lucrurile evidente nu sar imediat in ochi...

Demonstram ca \( f \) are un punct fix. Pentru aceasta consideram functia \( g:[a,b]\to \mathbb{R},\ g(x)=f(x)-x \). Evident \( g(a)\geq 0,\ g(b)\leq 0 \). Daca \( g(a)=0 \) sau \( g(b)=0 \) atunci am terminat. Altfel \( g(a)>0>g(b) \). Deoarece \( f \) are primitive si identitatea are primitive, rezulta ca si \( g \) are primitive, si astfel proprietatea lui Darboux.
De aici rezulta ca exista \( x \in [a,b] \) cu \( g(x)=0\Leftrightarrow f(x)=x \).

Faptul acesta incheie demonstratia, pentru ca daca ar exista doua astfel de multimi \( A,B \) cu proprietatea din enunt, atunci \( x \) ar fi in intersectia lor, ceea ce contrazice faptul ca \( A\cap B=\emptyset \).