philandrew wrote:
Pentru orice \( \triangle ABC \) de arie \( S \), cu \( m_a \) lungimea \( A \)-medianei si celelalte, avem:
\( \frac{1}{m_bm_c} + \frac{1}{m_cm_a} + \frac{1}{m_am_b} \le \frac{\sqrt{3}}{S} \).
Solutia 1.
Se stie ca
\( S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \) (formula lui Heron)
Din inegalitatea
\( m_{a}\geq\sqrt{p(p-a)} \) si analoagele, vom obtine ca
\( \frac{1}{m_{a}m_{b}}+\frac{1}{m_{b}m_{c}}+\frac{1}{m_{c}m_{a}}\leq\frac{\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}}{\sqrt{p}\cdot\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}=\frac{\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}}{\sqrt{p}}\cdot\frac{1}{S} \).
Mai departe, din inegalitatea Cauchy-Buniakovski, avem ca
\( \sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\leq\sqrt{3(p-a+p-b+p-c)} \), de unde concluzia problemei.
Solutia 2.
Fie
\( \alpha \) unghiul format de medianele
\( m_{b} \) respectiv
\( m_{c} \) ale triunghiul nostru. Sa zicem ca punctele de intersectie cu laturile
\( AB \),
\( AC \) sunt
\( C_{1} \) respectiv
\( C_{2} \). Atunci avem
\( Aria_{BCB_{1}C_{1}}=\frac{3}{4}S=\frac{m_{b}m_{c}\sin\alpha}{2} \), de unde
\( \frac{1}{m_{b}m_{c}}=\frac{2\sin\alpha}{3S} \) plus analoagele. Astfel, inegalitatea pe care o avem de demonstrat se reduce la
\( \sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma\leq\frac{3\sqrt{3}}{2} \) cu
\( \alpha+\beta+\gamma=\pi \). Acest lucru rezulta imediat prin aplicarea inegalitatii Jensen functiei concave
\( \sin \).
Solutia 3.
Vom reduce inegalitatea in cadrul triunghiului median, astfel:
Este cunoscut faptul ca
\( S=4S_{median} \). Astfel, inegalitatea noastra se reduce la
\( \frac{1}{m_{a}m_{b}}+\frac{1}{m_{b}m_{c}}+\frac{1}{m_{c}m_{a}}\leq\frac{3\sqrt{3}}{4S_{median}} \) care este echivalenta in cele din urma, cu
\( \sin A+\sin B+\sin C\leq\frac{3\sqrt{3}}{2} \), care se solutioneaza ca ma sus folosind concavitatea functiei
\( \sin \).