mateforum.ro

Fie \( x,y \) doua numere naturale prime intre ele si distincte. Demonstrati ca exista o infinitate de numere prime \( p \) astfel incat exponentul lui \( p \) in \( x^{p-1}-y^{p-1} \) este impar.

American Mathematical Monthly

Vom considera numerele de forma \( x^{2^{a}}+y^{2^{a}} \) pentru \( a\geq 2 \). Un lucru usor de observat ca orice doi termeni distincti ai acestei multimi au cel mult pe \( 2 \) ca factor in comun atunci cand \( x \) si \( y \) sunt impare, dar o simpla congruenta modulo 4 ne arata ca toti termenii sunt egali cu 2 modulo 4. Deci avem o infinitate de numere prime ce divid termenii acestui sir. Fie \( p>2 \) astfel incat \( x^{2^{a}}\equiv -y^{2^{a}} (mod \, p) \) de unde avem \( (xy_{0})^{2^{a}}\equiv -1(mod \, p) \) si mai departe \( (xy_{0})^{2^{a+1}}\equiv (mod \, p) \), unde \( y_{0} \) inversul lui \( y \).Fie \( b \) ordinul elementului \( xy_{0} \). Se observa usor ca \( b=2^{a+1} \) si cum stim ca ordinul oricarui element divide ordinul grupului avem ca \( p=2^{a+1}r+1 \).
Acum sa ne uitam la \( x^{p-1} -y^{p-1}=\left(x^{2^{a+1}}\right)^{r}-\left(y^{2^{a+1}}\right)^{r}=\left(x^{2^{a+1}}-y^{2^{a+1}}\right)
\left(\left(x^{2^{a+1}}\right)^{r-1}+....+\left(y^{2^{a+1}}\right)^{r-1}\right) \). Se observa usor ca exponentul lui \( p \) in \( x^{p-1} -y^{p-1} \) este exponetul sau in \( x^{2^{a}}+y^{2^{a}} \). Asadar este suficient sa gasim \( p \) care sa aiba exponetul impar in \( x^{2^{a}}+y^{2^{a}} \). Sa presupunem ca nu exista. Aceasta ar fi echivalent, cand x si y au paritati diferite, cu ecuatia diofantica \( x^4+y^4=z^2 \) care are solutii numai cand x sau y este 0. In celalalt caz cand x si y sunt ambele impare se reduce la ecuatia diofantica \( x^4+y^4=2z^2 \) pe care o rescriem \( z^4-(xy)^4=\left(\frac{x^4-y^4}{2}\right)^2 \) si ar trebui sa avem \( x=y \) contradictie.