mateforum.ro

Determinati matricele \( A\in M_{2}(\mathbb{Q}) \) astfel incat sa avem
\( A^3+A=I_{2} \).


Marius Cavachi

Fie \( x_{1},x_{2},x_{3} \) radacinile ecuatiei \( x^3+x-1=0 \). Valorile proprii se afla printe aceste trei radacini.
Daca ambele sunt \( x_{1} \) (sa zicem), atunci \( Tr(A)=2x_{1} \). Urma fiind din Q obtinem ca \( x_{1} \) este din Q, dar ecuatia considerata de noi nu are nici o radacina din Q.
Daca \( x_{1},x_{2} \) sunt valori proprii ale matricei A, atunci \( x_{1}+x_{2}+x_{3}=0 \) (Viete), de unde obtinem ca \( x_{3} \) este din Q care din nou reprezinta o contradictie.
Deci nu exista nici o matrice cu proprietatea din enunt.
Sper ca nu am gresit de undeva.

Polinomul \( P(X)=X^3+X-1 \) este ireductibil in \( \mathbb{Q} \). Cum polinomul minimal \( m(X) \) al lui \( A \) divide \( P(X) \) inseamna ca \( m(X)=P(X) \) (fals, deoarece \( \deg(m(X))<3=\deg(P(X)) \)) sau \( m(X)=1 \) (imposibil). Asadar nu exista matrice \( A \) din \( M_2(Q) \) astfel incat \( A^3+A=I_2 \).
Cred ca nu am gresit cu nimic...