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det(I+A)>=1 pentru matrice antisimetrica
Posted: Sun Dec 09, 2007 2:35 pm
by Diana Putan
Aratati ca orice matrice reala antisimetrica \( {A}\in{M_{n}(\mathbb{R})} \) satisface inegalitatea
\( \det(I_{n}+A)\geq1 \).
Admitere SNSB, 2001
Posted: Sat Mar 01, 2008 7:34 pm
by Ciprian Oprisa
Well, o matrice antisimetrica are toate valorile proprii pur imaginare. In plus, daca \( \lambda \) e valoare proprie, atunci si \( \overline{\lambda} \) e valoare proprie, deoarece matricea e reala.
\( f_A(x)=(x-x_1)(x-\overline{x_1})\ldots(x-x_k)(x-\overline{x_k})x^p \), deoarece pot fi si unele valori proprii 0.
\( \Rightarrow f_A(x)=(x-ia_1)(x+ia_1)\ldots(x-ia_k)(x+ia_k)x^p=(x^2+a_1^2)\ldots(x^2+a_k^2)x^p \)
\( \det(I_n+A)=(-1)^n\det(-I_n-A)=(-1)^nf_A(-1)=(-1)^{n+p}(1+a_1^2)\ldots(1+a_k^2)\geq1 \), deoarece \( p \) si \( n \) au aceeasi paritate, iar \( a_1,\ldots, a_k \) sunt reale.