mateforum.ro

Fie X un spatiu metric conex, si Y un spatiu metric.
Fie f o functie continua de pe X pe Y, astfel incat pt. orice \( x\in X \), sa existe o vecinatate a lui x pe care f sa fie constanta
Atunci f e constanta.

Daca luam multimea punctelor in care functia ia o valoare oarecare(fixata) din imaginea ei, atunci ea e nevida, e deschisa(orice punct aduce cu el o intreaga vecintate) si inchisa(limita oricarui sir convergent ramane in multime, f fiind continua).X fiind conex rezulta ca multimea e tot spatiul.

Nu ai gresit, dar exprimarea e ciudata. Cum adica multimea punctelor in care functia este constanta. Proprietatea unei functii de a fi constante e globala sau locala, in nici un caz punctuala. Considera in schimb multimea punctelor in care functia ia o valoare oarecare din imaginea ei, \( \{x|f(x)=f(x_0)\} \) cu \( x_0 \) fixat.