mateforum.ro

Sa se determine matricea \( A \), cu coeficienti reali, stiind ca \( A^7 =
( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix} ) \).

Daca trecem la determinanti, o sa avem ca \( \det(A)=0 \). Mai departe, din relatia Cayley-Hamilton \( A^2-tr(A)\cdot A +\det(A)\cdot I_{2}=O_{2} \), avem ca \( A^{2}=tr(A)\cdot A \). Daca inmultim cu matricea \( A \) avem ca \( A^{3}=tr(A)\cdot A^{2}=tr^{2}(A)\cdot A \). Inmultind tot asa, o sa obtinem ca \( A^{7}=tr^{6}(A)\cdot A \). Daca in ultima relatie, trecem la urma, rezulta ca \( \tr(A^{7})=tr(tr^{6}(A)\cdot A) \). Pe de alta parte, este cunoscuta urmatoarea proprietate a urmei si anume: \( tr(\alpha\cdot A)= \alpha\cdot tr(A) \). Astfel, vom obtine ca \( tr(A^{7})=tr^{7}(A) \) de unde avem ca \( tr^{7}(A)=5 \) de unde \( tr(A)=\sqrt[7]{5} \). Astfel, de aici, matricea noastra va fi \( A=\frac{1}{\sqrt[7]{5^{6}}}\cdot
( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix} ) \).