mateforum.ro Forum Index mateforum.ro

 
 FAQFAQ   SearchSearch   MemberlistMemberlist   UsergroupsUsergroups   RegisterRegister 
 ProfileProfile   Log in to check your private messagesLog in to check your private messages   Log inLog in 

Matrice

 
Post new topic   Reply to topic    mateforum.ro Forum Index -> Clasa a XI-a -> Algebra
View previous topic :: View next topic  
Author Message
Silvian
Euclid


Joined: 19 Aug 2011
Posts: 12
Location: Bucuresti

PostPosted: Fri Nov 04, 2011 11:33 pm    Post subject: Matrice Reply with quote

Sa notam cu M multimea tuturor matricilor de tipul (m,n) in care toate elementele sunt numerele +1 sau -1 si astfel produsul numerelor de pe fiecare linie si de pe fiecare coloana sa fie +1.Sa se calculeze numarul elementelor multimii M
Back to top
View user's profile Send private message AIM Address Yahoo Messenger MSN Messenger
Laurian Filip
Site Admin


Joined: 25 Nov 2007
Posts: 473
Location: Bucuresti

PostPosted: Sat Nov 05, 2011 11:30 am    Post subject: Reply with quote

Vom arata ca numarul elementelor multimii M este de fapt numarul de matricii de tip (m-1,n-1) cu elemente numerele +1,-1.


Pentru asta vom arata ca exista exact o extindere de la o matrice (m-1,n-1) cu elemente in \{-1,+1\} cu o coloane la dreapta si o linie dedesubt astfel incat ea sa devina un element din M.

Sa notam elementele acestei matricii a_{i,j}, i\in \overline{1,m}, j \in \overline{1,n}. Observam ca pentru ca matricea sa fie din M trebuie ca:
a_{i,n}=\frac{1}{\prod_{k=1}^{n-1}a_{i,n}}\in\{-1,+1}, i=\overline{1,m-1}
a_{m,i}=\frac{1}{\prod_{k=1}^{m-1}a_{k,i,}}\in\{-1,+1}, i i=\overline{1,n-1}


Asadar am demonstrat ca toate elementele mai putin a_{m,n} care apar o data cu extinderea sunt unic determinate pentru ca nou matrice sa apartina lui M. Aratam ca, de asemenea, exista si este unic un a_{m,n}\in \{-1,1\} ca matricea a_{i,j} sa fie in M.

Folosind faptul ca produsul elementelor primelor (m-1) linii respectiv primelor (n-1) coloane este +1, obtinem imediat ca
\prod_{i=1}^{m-1} a_{i,n} \cdot \prod_{i=1}^{n-1}a_{m,i}=1 \Longrightarrow \prod_{i=1}^{m-1} a_{i,n} =\prod_{i=1}^{n-1}a_{m,i} \Longrightarrow (\exists !) a_{m,n}= \frac{1}{\prod_{i=1}^{m-1} a_{i,n}}=\frac{1}{\prod_{i=1}^{n-1}a_{m,i} }


Acum putem afirma ca exista o bijectie intre elementele multimii M si multimea matricelor (m-1,n-1) cu elemente in \{-1,1\}, de unde obtinand ca \|M\|=2^{m+n-2}.
_________________
Bac Mat: Formule bacalaureat matematica
Triangle Solver: Rezolva orice triunghi
Gaseste Scrabble: Castiga la jocul cuvintelor
Resigilate PCG: Top oferte desigilate pcg + istoric pret
Back to top
View user's profile Send private message Visit poster's website
Display posts from previous:   
Post new topic   Reply to topic    mateforum.ro Forum Index -> Clasa a XI-a -> Algebra All times are GMT + 2 Hours
Page 1 of 1

 
Jump to:  
You cannot post new topics in this forum
You cannot reply to topics in this forum
You cannot edit your posts in this forum
You cannot delete your posts in this forum
You cannot vote in polls in this forum



Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group