mateforum.ro Forum Index mateforum.ro

 
 FAQFAQ   SearchSearch   MemberlistMemberlist   UsergroupsUsergroups   RegisterRegister 
 ProfileProfile   Log in to check your private messagesLog in to check your private messages   Log inLog in 

IMAC Juniori II 15 mai 2010 Subiectul II

 
Post new topic   Reply to topic    mateforum.ro Forum Index -> Juniori -> Teoria Numerelor
View previous topic :: View next topic  
Author Message
Andi Brojbeanu
Newton


Joined: 22 Mar 2009
Posts: 383
Location: Targoviste (Dambovita)

PostPosted: Tue Jun 15, 2010 8:25 pm    Post subject: IMAC Juniori II 15 mai 2010 Subiectul II Reply with quote

a) Aflati toate numerele de forma 999...99 formate din n (n\ge 1) cifre de 9, care sunt patrate perfecte.
b) Cate numere de forma 616161...6161 sunt patrate perfecte? Justificati.
Canada
_________________
Brojbeanu Andi Gabriel, clasa XII-a
Colegiul National "Constantin Carabella" Targoviste
Back to top
View user's profile Send private message Send e-mail Yahoo Messenger
andreiilie
Pitagora


Joined: 24 May 2010
Posts: 63

PostPosted: Tue Jun 15, 2010 9:01 pm    Post subject: Reply with quote

Draguta pb:). Pt punctul 1 observam ca numarul poate fi scris ca 9*111....1 .Notam numarul de cifre de 1 cu t. Daca nr trb sa fie patrat perfect, atunci , cum 9 =p.p, este necesar ca si 111....1 sa fie p.p. .
Pt aceasta, consideram 2 cazuri, si anume:

a) numarul de cifre al lui 1111...1 este un nr par

b) nr de cifre al lui 11...111 este un nr impar.


Ptr a)Folosim procedeul de extragere a radacinii patrate, deci impartim numarul in in t/2 grupe de cate 2 nr si observam ca, dupa a x-a grupa pe care am coborat-o jos pt a-i aplica algoritmul, vom avea 66..6_ * _ mai mic sau egal cu 222...211 , unde numarul de cifre de 6 este x-1, la fel ca nr de cifre de 2. In final, cand ajungem la grupa t/2 de coborat jos pt a-i aplica procedeul, vom avea exact cazul general expus mai sus, dar in loc de x va fi t/2.

dar cum
66666...6_ * _ nu poate fi egal cu 2222....211 ( daca _=3, nr este mai mic, daca _=4 este mai mare) => numaruld e cifre nu poate fi par.

b) se aplica un rationament asemanator, si, evident, unul dintre raspunsuri va fi n=1( deoarece 9 este patrat perfect) . Imi cer scuze ca nu pot redacta si b, dar ma duc sa ma uit la meciul Braziliei:) . O zi buna ! ( sper sa revin si cu b)
_________________
I.A.
Back to top
View user's profile Send private message
andreiilie
Pitagora


Joined: 24 May 2010
Posts: 63

PostPosted: Wed Jun 16, 2010 11:55 am    Post subject: Reply with quote

Acu observ, m-am gandit prea complicat pt o problema de clasa a 6a Laughing
Varianta MULT mai simpla:
 A=\overbrace{ 99\cdots99 }^{n} =( 3^2) \overbrace{ 11\cdots11 }^{n}
Pentru  n >1, A nu este patrat perfect EVIDENT, deoarece  A=\overbrace{11\cdots11}{n}=M_4+3 nu este p.p. .
Prin urmare, verifica doar pt n=1
_________________
I.A.
Back to top
View user's profile Send private message
Display posts from previous:   
Post new topic   Reply to topic    mateforum.ro Forum Index -> Juniori -> Teoria Numerelor All times are GMT + 2 Hours
Page 1 of 1

 
Jump to:  
You cannot post new topics in this forum
You cannot reply to topics in this forum
You cannot edit your posts in this forum
You cannot delete your posts in this forum
You cannot vote in polls in this forum



Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group