Aproximare integrala si seria lui Euler
Posted: Wed Nov 07, 2007 1:27 pm
Desi sunt "reziduri" de analiza numerica si chiar teoria analitica a numerelor o sa postez problema aici cu convingerea ca poate fi gasita si o abordare elementara:
Fie \( f:[0,1]\to\mathbb{R} \) o functie derivabila astfel incat \( |f^\prime (x) | \leq K \). Sa se arate ca:
i) \( \left | \sum_{ |m| \leq M }{\int_0^1f(x) e(mx)dx-\frac{f(0)+f(1)}{2} \right | << \frac{K\log M}{M} \);
ii) \( \sum_{-\infty}^{+\infty} \int_0^1 f(x)e(mx)dx=\frac{f(0)+f(1)}{2} \).
iii) Luand \( f(x)=x^{2} \) deduceti ca \( \sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m^{2}}=\frac{\pi^2}{6} \).
Fie \( f:[0,1]\to\mathbb{R} \) o functie derivabila astfel incat \( |f^\prime (x) | \leq K \). Sa se arate ca:
i) \( \left | \sum_{ |m| \leq M }{\int_0^1f(x) e(mx)dx-\frac{f(0)+f(1)}{2} \right | << \frac{K\log M}{M} \);
ii) \( \sum_{-\infty}^{+\infty} \int_0^1 f(x)e(mx)dx=\frac{f(0)+f(1)}{2} \).
iii) Luand \( f(x)=x^{2} \) deduceti ca \( \sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m^{2}}=\frac{\pi^2}{6} \).