mateforum.ro

Fie o foaie infinita partitionata in patratele de latura 1. Se coloreaza interiorul fiecarui patratel cu una din culorile \( rosu \) sau \( negru \)(laturile patratelelor nu sunt considerate a fi colorate). Aratati ca pentru orice numar intreg pozitiv \( \alpha \) exista un triunghi echilateral de arie numar intreg \( A\ge \alpha \), cu varfurile in patratele de aceeasi culoare.

Vom demonstra ca exista un triunghi cu latrura oricat de mare astefel incat sa satisfaca conditiile problemei.
Sa cosideram ca avem un triunghi echilateral de latura X. Atunci dintre cele 3 puncte, cel putin 2 vor fi de aceeasi culoare. Astfel , am demonstrat ca exista puncte de aceeasi culoare la orice distanta.
Mai departe vom folosi lema: Daca exista un segment de lungime 2a cu ambele capete colorate la fel cu mijlocul sau, atunci cu siguranta va exista un triunghi cu varfurile de aceeasi culoare de latura a sau 2a(1)
Considerand un segment [AB], cu A si B la fel colorate(cu culoarea X) de lungime 4a x radical de ordinul 4 din 3(care cu siguranta va exista), cu a suficient de mare pentru a respecta conditiile problemei.
Fie D simetricul lui B fata de A si C simetricul lui A fata de B. Este evident ca pt a nu se forma un triunghi echilateral trebuie ca D si C sa fie colorate cu cealalalta culoare (Y) conform (1).
Dar [DC] si [AB] au acelasi mijloc, si indiferent ce culoare va avea acesta, se va forma un triunghi echilateral cu varfurile in puncte de aceeasi culoare
Astfel am demonstrat ca pentru orice colorare, va exista un triunghi echilateral cu aria oricat de mare cu varfurile in puncte de aceeasi culoare care se observa ca va avea aria un numar de forma 3k x a la patrat cu k apartinand{1,4,9,16} si deci aceasta arie va fi un numar natural.
Asadar triunghiul nostru intruneste toate condiitile problemei.