mateforum.ro

Fie \( A\in M_{2}(\mathbb{R}), n\in\mathbb{N}, n\geq 2 \) si fie \( a\in\mathbb{R} \) cu \( |a|<1 \). Stiind ca \( \det(A^{2n}-aA^{2n-1}-aA+I_{2})=0 \) sa se arate ca \( \det A=1. \)

Concursul Gr. Moisil, Oradea, 2007

Se foloseste faptul ca polinomul \( P(X)=X^{m+1}-\alpha X^m-\alpha X+1 \), \( \alpha \in\mathbb{R} \), \( |\alpha| <1 \), are toate radacinile de modul egal cu 1.

Astfel daca \( x_1 \) si \( x_2 \) sunt valorile proprii ale lui A atunci una din ele este radacina a polinomului \( X^{2n}-aX^{2n-1}-aX+1 \) si cum aceasta nu poate sa fie reala (altfel ar insemna ca este \( \pm1 \)) inseama ca A are valori proprii complexe conjugate da modul 1, deci \( \det A=x_1\cdot x_2=x_1\cdot \overline {x_1}=|x_1^2|=1 \).

P.S. Daca doreste cineva, pot sa si demonstrez afirmatia cu polinomul.

http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=263850 - ultimul post da solutia pt polinom.