mateforum.ro

Consideram \( \triangle ABC \) si un punct \( P \). Notam proiectiile \( D \), \( E \), \( F \) ale lui \( P \) pe \( BC \), \( CA \), \( AB \) respectiv si punctul \( R\in EF\cap BC \). Cercul circumscris al \( \triangle DEF \) taie din nou \( BC \) in \( M \). Sa se arate ca \( RP\perp AM \).

Cazuri particulare.

\( 1.\ P: = H \) (ortocentrul \( \triangle ABC \)). In acest caz punctul \( M \) este mijlocul lui \( [BC] \) \( \Longrightarrow\ RH\perp AM \).

\( 2.\ P: = I \) (centrul cercului inscris in \( \triangle ABC \)). In acest caz punctul \( M \) este \( D\ \Longrightarrow\ RI\perp AD \).

1) \( m(\angle{AFP})=m(\angle{AEP})=90^0\Rightarrow AFPE\mbox{-inscriptibil.} \)
2) \( \mbox{Notam cu }Q\mbox{ cel de al doilea punct de intersectie al cercului circumscris patrulaterului }AFPE \)
\( \mbox{ cu cercul circumscris triunghiului }MPD\Rightarrow\mbox{ dreapta }PQ\mbox{ este axa radicala a cercurilor }\odot{AFPE}\mbox{ si }\odot{MPD}. \)
3) \( \mbox{Axa radicala a cercului }\odot{AFPE} \mbox{ si a cercului } \odot{DEF} \mbox{ este dreapta }EF; \)
\( \mbox{iar axa radicala a cercurilor }\odot{DEF} \mbox{ si }\odot{MPD} \mbox{ este dreapta }BC\Rightarrow\\
\Rightarrow \mbox{punctul }R \mbox{ este centrul radical al cercurilor }\odot{AFPE}; \odot{DEF}\mbox{ si }\odot{MPD}\Rightarrow R\in{PQ}. \)
4) \( \mbox{Cum }\odot{AFPE} \mbox{ si } \odot{MPD} \mbox{ sunt in mod respectiv cercurile avand drept diametre segmentele} \)
\( [AP] \mbox{ si }[PM]\mbox{, urmeaza ca: }
m(\angle{AQP})=m(\angle{PQM})=90^0\Rightarrow \mbox{ punctele }A, Q \mbox{ si } M \mbox{ sunt coliniare si } AM\perp{RP}. \)