mateforum.ro

Fie \( a_1, a_2,..,a_k \) numere naturale distincte din multimea \( \{\ 1,2,...,n\}\ \) astfel incat \( a_i(a_{i+1}-1) \vdots n \), pentru \( i=\bar{1,k-1} \) Aratati ca \( a_n(a_1-1) \) nu este divizibil cu \( n \).

Sa va zic solutia mea:

Din ipoteza putem scrie \( n=b_ic_i \) unde \( b_i |a_i \) si \( c_i |a_{i+1}-1 \). Atunci avem \( (b_i,c_{i+1})=1 \) adica \( (b_i,\frac{n}{b_{i+1}})=1 \), ceea ce implica \( b_i |b_{i+1} \), pentru orice \( i \). Daca ar avea loc si \( n| a_n(a_1-1) \) atunci ar rezulta ca toate \( b_i \)-urile sunt egale si la fel pentru \( c_i \), ceea ce duce la contradictie, pentru ca ar rezulta ca doua numere sunt egale.