Page 1 of 1
Echivalenta a doua relatii matriceale
Posted: Wed Jun 24, 2009 11:37 am
by opincariumihai
Daca \( A,B\in M_2(\mathbb{C}) \) demonstrati echivalenta propozitiilor :
\( p_1 \) : \( (AB)^2=AB^2A+I_2 \) ; \( p_2 \) : \( (BA)^2=BA^2B+I_2 \).
Mihai Opincariu
Posted: Wed Jun 24, 2009 5:34 pm
by Marius Mainea
Se arata ca fiecare din cele doua propozitii este echivalenta cu \( p_3:\ AB=-BA \)
\( p_1 \) este echivalenta cu \( AB(AB-BA)=I_2 \) sau \( AB(AB-BA)^2=AB-BA \) sau \( \lambda AB=AB-BA \) si de aici \( AB=t\cdot BA , t\neq 1 \) si de aici trecand la determinanti obtinem \( t=-1 \)
Analog \( p_2 \) este echivalenta cu \( p_3 \)
Posted: Wed Jun 24, 2009 8:19 pm
by Theodor Munteanu
Se foloseste relatia Hamilton-Cayley pentru AB si BA si faptul ca pentru matrici de ordin 2 avem Tr(AB)=Tr(BA).
Posted: Thu Jun 25, 2009 1:08 pm
by opincariumihai
Theodor Munteanu wrote:Se foloseste relatia Hamilton-Cayley pentru AB si BA si faptul ca pentru matrici de ordin 2 avem Tr(AB)=Tr(BA).
..si cum rezulta echivalenta?