mateforum.ro

Sa se arate ca exista o matrice \( A\in M_n(R) \) cu proprietatea ca toti minorii sai sunt numere irationale.

I. Savu

Deoarece \( \pi \) este transcendent, \( \pi^k \notin \mathbb{Q},\ \forall k \in \mathbb{N} \). Astfel trebuie doar sa gasim o matrice cu elemente rationale, chiar intregi, care are toti minorii nenuli, si sa o inmultim cu \( \pi \).
Pentru asta, putem, de exemplu sa consideram un Determinant Vandermonde cu toti \( x_i \) numere intregi, distincte doua cate doua, si diferite de 0. Orice submatrice a unei asemenea matrici este tot o matrice aproape de tip Vandermonde in sensul ca puterile la care sunt gasite elementele \( x_i \) nu sunt neaparat \( 1,2,...,n \) ci \( a_1<a_2<...<a_k \). Se demonstreaza usor ca determinantul unei asemenea submatrici nu este 0. Prin urmare toti minorii sunt nenuli, si numere rationale.
Inmultind matricea precedenta cu \( \pi \) obtinem o matrice cu toti minorii numere irationale.