Page 1 of 1
O inegalitate "mai tare" intr-un triunghi.
Posted: Sat Mar 28, 2009 7:03 am
by Virgil Nicula
Sa se arate ca intr-un triunghi \( ABC \) exista inegalitatea "mai tare"
\( \underline{\overline{\left\|\ 3\cdot\sum a^2(b+c-a)\ \le\ 8abc+\prod (b+c-a)\ \right\|}}\ \le\ 9abc \) .
Re: O inegalitate "mai tare" intr-un triunghi.
Posted: Sat Apr 04, 2009 5:55 pm
by maxim bogdan
Virgil Nicula wrote:Sa se arate ca intr-un triunghi \( ABC \) exista inegalitatea "mai tare"
\( \underline{\overline{\left\|\ 3\cdot\sum a^2(b+c-a)\ \le\ 8abc+\prod (b+c-a)\ \right\|}}\ \le\ 9abc \) .
Avem:
1) \( \prod (b+c-a)=\displaystyle\sum_{sym}a^2b-\displaystyle\sum_{cyc}a^3-2abc \)
2) \( \displaystyle\sum_{cyc}a^2(b+c-a)=\displaystyle\sum_{sym}a^2b -\displaystyle\sum_{cyc}a^3 \)
Astfel inegalitatea va deveni:
\( \underline{\overline{\left\|\ 3\displaystyle\sum_{sym}a^2b-3\displaystyle\sum_{cyc}a^3\leq\displaystyle\sum_{sym}a^2b-\displaystyle\sum_{cyc}a^3+6abc\ \right\|}}\leq 9abc. \)
Inegalitatea din "stanga" este echivalenta cu:
\( \displaystyle\sum_{cyc}a^3+3abc\geq \displaystyle\sum_{sym}a^2b \) care este chiar
inegalitatea lui Schur pentru
r=1.
Inegalitatea din "dreapta" este echivalenta cu:
\( \displaystyle\sum_{cyc}a^3+3abc\geq \displaystyle\sum_{sym}a^2b, \) adica tot
inegalitatea lui Schur pentru
r=1.
Observatii:
1) Inegalitatea are loc pentru orice numere reale pozitive (nu neaparat lungimi de laturi de triunghi).
2) Nu vad care din inegalitati este mai "tare" ambele reducandu-se la acelasi caz particular (pentru
r=1) al
inegalitatii lui Schur.