Matrice cu elemente din {0,1}

[Alex Dura]

Fie \( \mathcal{M} \) multimea matricelor patratice \( A \) de ordinul \( n \) (\( n\geq 2 \)) cu elemente din multimea \( \left\{0,1\right\} \) pentru care \( rang A=1 \). Calculati \( card \mathcal{M} \).

[Dragos Fratila]

Prima coloana o alegi random nenula toata. Restul coloanelor trebuie sa fie proportionale cu aceasta coloana: deci fie sunt 0 peste tot fie sunt egale cu prima coloana.

[Cezar Lupu]

prima coloana o alegi random nenula toata
restul coloanelor trebuie sa fie proportionale cu aceasta coloana: deci fie sunt 0 peste tot fie sunt egale cu prima coloana.

Totusi hai sa postam o solutie completa, sa inteleaga si copilul ceva. Asa mi se pare mai elegant din moment ce doreste sa afle una.

Solutie.

Se stie urmatoarea lema:

Daca \( A\in M_{n}(\mathbb{C}) \) si \( rang A=m \), atunci exista \( X\in M_{n\times m}(\mathbb{C}) \) si \( Y\in M_{m\times n}(\mathbb{C}) \) astfel incat \( A=XY \).

Cum matricea noastra \( A \) are rangul \( 1 \) rezulta ca exista vectorii \( C\in M_{n\times 1`}(\mathbb{C}) \) si \( D_{1\times n}(\mathbb{C}) \) astfel incat \( A=CD \). Este evident ca elementele vectorilor \( C,D \) sunt numai \( 0 \) si \( 1 \). Astfel, vectorii \( C \) si \( D \) trebuie sa contina fiecare cel putin un element nenul, in caz contrar matricea \( A \) ar fi nula si deci, rangul ei ar fi \( 0 \).
Astfel, elementele vectorilor \( C,D \) pot fi alese in \( 2^n-1 \) fiecare si cum acestia determina in mod unic matricea \( A \), rezulta in mod evident \( | \mathcal{M}|=(2^n-1)^{2} \). \( \qed \)