mateforum.ro

Fie \( A \in \mathcal{M}_n (\mathbb{C}) \) cu \( rang(A)=r \), \( r\geq 1 \). Atunci exista \( X \in \mathcal{M}_{n,r} (\mathbb{C}) \) si \( Y \in \mathcal{M}_{r,n} (\mathbb{C}) \) a.i. \( A=XY \) (chiar mai mult, \( rang(X)=rang(Y)=r \)).

Teorema: Orice matrice \( A \in \mathcal{M}_n \left( \mathbb{C} \right) \) se poate reprezenta sub forma \( A= P Q R \) unde \( P,Q \in \mathcal{M}_n \left( \mathbb{C} \right) \) sunt inversabile, iar \( Q= \left( \begin{array}{cc} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right) \in \mathcal{M}_n \left( \mathbb{C} \right) \), unde \( r= rang(A) \).

In rezolvarea problemei, vom considera aceasta reprezentare: \( A=PQR \). Se poate presupune fara a restrange generalitatea ca primele \( r \) linii ale matricei \( P \) sunt liniar independente si primele \( r \) coloane ale matricei \( R \) sunt liniar independente (deoarece la aceasta se poate ajunge prin permutarea de linii, respectiv coloane, adica prin inmultirea la stanga, respectiv la dreapta cu matrici care contin liniile lui \( I_n \) permutate).

Sa mai observam ca \( Q^2 = Q \). Acum avem ca: \( A=(PQ)(QR) \).

Observatie: Intr-o matrice oarecare \( X \) de ordinul \( n \), matricea \( QX \) (respectiv \( XQ \) ) va fi matricea careia i se inlocuiesc elementele de pe ultimele \( n-r \) coloane (respectiv linii) cu zerouri.

Conform acestei observatii putem considera \( X \in \mathcal{M}_{n,r} \left( \mathbb{C} \right) \) si \( Y \in \mathcal{M}_{r,n} \left( \mathbb{C} \right) \) astfel incat:

\( PQ= \left( \begin{array}{cc} X & 0 \end{array} \right) \) si \( QR= \left( \begin{array}{c} Y \\ 0 \end{array}\right) \).

Evident acum ca \( A= X Y \) si \( rang (X) = rang(Y)= rang(PQ)=rang(QR)=r \).