mateforum.ro

Determinati solutiile intregi ale ecuatiei \( x^2+y^2+z^2=x^2 y^2 \).

O solutie este \( x=y=z=0 \).
Ecuatia se mai scrie \( (x^2-1)(y^2-1)=z^2+1 \) sau
\( (x-1)(x+1)(y-1)(y+1)=z^2+1 \)
Daca \( x \) sau \( y \) este par si nenul, atunci cel putin unul din factori este divizibil cu 3, deci si \( z^2+1 \) este divizibil cu 3.
Rezulta \( z^2+1=3k\Rightarrow z^2=3k-1=3(k-1)+2=3p+2 \).
Dar numerele de forma \( 3p+2 \) nu pot fi patrate perfecte.
Rezulta ca x si y sunt impare. Atunci toti factorii produsului sunt pari, deci produsul se divide la 16, deci si \( z^2+1 \). De asemenea, si z este impar.
Fie \( z=2k+1\Rightarrow z^2+1=2(2k^2+2k+1) \) care este divizibil doar printr-un 2.

Deci singura solutie este cea banala.