mateforum.ro

1) Fie o matrice A apartinand lui \( M_n(\mathbb{R}) \). Daca nicio valoare proprie nu e reala, sa se arate ca matricea e inversabila si ca nici valorile proprii ale inversei nu sunt reale.

Deoarece zero e numar real rezulta ca nicio valoarea proprie a matricei nu poate fi zero. Pentru ca \( \det A =\prod_{i=1}^n \lambda_i \), unde \( \lambda_i \) cu \( i=\overline{1,n} \) sunt valorile proprii ale matricei \( A \), rezulta imediat ca \( \det A \neq 0 \), deci e inversabila.

Valorile proprii ale matricei \( A^{-1} \) sunt de forma \( \lambda_i^{-1} \), si concluzia e evidenta.

Urmatoarele trei probleme sunt:

2) Avem o matrice A=(1 2 2 / 2 1 2 / 2 2 1), adica are 1 pe diagonala principala si 2 in rest.
a) Sa se determine o matrice T astfel incat \( T^{-1}AT \) sa fie diagonala.
b) Sa se determine C astfel incat \( C^{2009}=A \).

3) Fie seria de puteri \( \sum(a_n/n)x^n \), unde \( a_n=a_{n-1}/n \) si \( a_0=1 \).
a) Sa sa determine multimea de convergenta.
b) Sa se calculeze S(0), unde S este suma seriei.

4)a) Sa se dezvolte in serie de puteri functia arcsin(x).
b) Sa se calculeze limita dintr-o suma care se obtinea dand valoarea 1/2 in formula de la a) si facand niste mici calcule.