mateforum.ro

Fie f o functie masurabila, marginita, nenula apt.
Stiind ca \( f(x+y)=f(x)f(y) \) aproape peste tot in raport cu masura Lebesgue din \( R^2 \), aratati ca \( f(x)=e^{itx} \)

Din punctul meu de vedere, nu putem zice \( y=-x \) fiindca a doua bisectoare are masura 0 in \( R^2 \), deci nu putem spune \( f(0)=1 \). De asemenea, nu cred ca putem spune nici \( x=y \).
Am nevoie de caracterizarea aceasta pentru a gasi functionalele multiplicative pe \( L^1(R) \).

Pai din acelasi motiv pentru care nu poti sa spui \( y=-x \) poti sa zici \( f(0)=1 \) fiindca nu schimbi decat pe o multime neglijabila toate ipotezele. Din motivul acesta nu cred ca egalitatea \( f(0)=1 \) ar fi un pas important intr-o eventuala demonstrtie. Trebuie folosite ceva teoreme de teoria masurii.

Multimea dreptelor de panta rationala e de masura Lebesgue nula, deci putem presupune ca \( f(x+y)=f(x)f(y),\ \forall x,y , x=ry, r \in \mathbb{Q} \). Deasemenea putem presupune ca \( f \) e nenula.
Atunci obtinem ca \( f(nx)=f(x)^n \) pentru orice \( x \) real si orice \( n \) intreg. Daca trecem la module, si tinem cont ca functia e marginita obtinem ca modului lui \( f \) e constant 1 cel putin a.p.t.
Asta e o parte. Cealalta e in lucru...