mateforum.ro

Cum ne dam seama daca un numar este patrat perfect sau nu? Daca se termina cu 2,3,7 sau 8 nu este. Dar daca se termina cu 0,4,5,6 sau 9 poate sa fie sau sa nu fie. Exemplu: 35 nu e p. p.

Putem sa il scriem ca ceva la a doua, dar nu merge intotdeauna.

Incerci sa faci o ecuatie sau ceva de genul, pana obtii \( x \cdot x \) si scrii \( x^2 \).

Sau il gasesti ca un numar intre doua patrate perfecte. Ma refer ca sa arati ca nu e patrat perfect.

Da, de exemplu \( 137\cdot 138 \) este cuprins intre \( 137^2 \) si \( 138^2 \), deci nu e patrat perfect. Am intalnit o problema din asta.

Vezi ca iese ?

Cum ar fi exemplul tau => 35 este cuprins intre \( 5^2 \) si \( 6^2 \)

Mai e o metoda, ceva cu 9k+1, am vazut intr-o culegere, dar n-am inteles

O sa va explic eu zilele astea, ca acum am ceva presant de facut.

Naruto, foarte pe scurt, proprietatea ar fi urmatoarea:
Un patrat perfect este intotdeauna de una din formele 9k sau 3k+1, k fiind un numar natural.

Asa se poate arata, de exemplu, ca numarul 99....96 nu este patrat perfect, oricati de 9 ar fi acolo.

Este, insa, genul de proprietate pe care trebuie s-o demonstrezi la un examen, fiindca nu apare in manuale si nici nu-i folosita foarte des. O sa revin asupra subiectului zilele urmatoare.

Recunosc nu am stiut-o pana acum dar... acum o stiu

49 nu este de această formă .

Da, corect. Am scris in graba, am facut calculele mintal si ... am gresit . Am corectat intre timp.

Deci, inca o data, trebuia asa:

Orice patrat perfect este de una din formele \( 9k \) sau \( 3k+1 \), \( k\in \mathb{N} \).

Explicatia ar fi urmatoarea:

Fie \( n=a^2 \) un patrat perfect, \( a\in \mathb{N} \). Numarul \( a \) este de una din formele \( 3c \), \( 3c+1 \) sau \( 3c+2 \), unde \( c\in \mathb{N} \).

Daca \( a=3c \) => \( n=9c^2 \). Notand \( k=c^2 \), obtinem \( n=9k \).

Daca \( a=3c+1 \) => \( n=(3c+1)^2=(3c+1)(3c+1)=9c^2+3c+3c+1=3c(3c+2)+1 \). Notand \( k=c(3c+2) \), obtinem \( n=3k+1 \).

Daca \( a=3c+2 \) => \( n=(3c+2)^2=(3c+2)(3c+2)=9c^2+6c+6c+4=9c^2+12c+3+1=3(3c^2+4c+1)+1 \). Notand \( k=(3c^2+4c+1) \), obtinem din nou \( n=3k+1 \).

De aici rezulta, intre altele, ca impartind un patrat perfect la 3, nu putem obtine niciodata restul 2.

In ce priveste impartirea la 9, se poate demonstra in mod asemanator ca restul poate fi doar 0, 1, 4 sau 7. Lucrurile astea nu trebuie invatate pe dinafara, pentru ca nu reprezinta niste teoreme. Mai degraba merita retinuta metoda de demonstratie.

Tot un fel de proprietate: Orice patrat perfect este de una din formele \( 4k \) sau \( 4k+1 \), \( k\in \mathb{N} \). Deci daca impartim un patrat perfect la 4, nu putem obtine decat restul 0 sau 1.

Aşa mai merge!
Frumoase proprietăţi! Mulţumim!

Cred ca a am amestecat eu lucrurile... Din 9k si 3k+1 am facut 9k+1 Acum m-am lamurit. Multumesc .