mateforum.ro

Exista doua matrice \( A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \) astfel incat \( (AB-BA)^p=I_n \), unde \( p>n \) este un numar prim?

Echivalent:

Exista o matrice \( C\in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \) cu \( \tr(C)=0 \) si astfel incat \( C^p=I_n \), unde \( p>n \) este un numar prim?

Ce se intampla insa daca in locul lui \( \mathbb{C} \) se considera un corp oarecare?

Schimbam putin enuntul :

maky wrote:Exista doua matrice \( A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \) astfel incat \( (AB-BA)^p=I_n \), unde \( p \) este un numar prim?

Da, se poate, daca si numai daca \( p|n \).

In primul rand, o matrice \( C \) este de forma \( AB-BA \) daca si numai daca \( \text{tr} \, C = 0 \) (cunoscuta, dar netriviala ).

In al doilea rand, daca \( C^p = I_n \), atunci polinomul minimal al lui \( C \) divide \( X^p - 1 \), deci are numai radacini simple, deci \( C \) e diagonalizabila. Deci putem presupune WLOG ca \( C = \text{diag} \left( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \right) \).
Ipoteza zice ca suma lor e \( 0 \) si ca fiecare e radacina de ordinul \( p \) al unitatii.
Asadar \( \sum \lambda_i = 0 \) se reduce la \( f \left( \omega \right) = 0 \), unde \( f \in \mathbb Z[X], \, \omega = \exp \left( \frac{2 i \pi}{p} \right) \). Cum polinomul minimal al lui \( \omega \) peste \( \mathbb{Q} \) este \( g = X^{p-1} + \ldots + X + 1 \), rezulta ca \( f = gh \). Asadar, \( n = f(1) = g(1) h(1) = p \cdot h(1) \).

Invers presupun ca-i clar.

1. Daca vrem sa dam un exemplu efectiv de doua matrice A, B cu proprietatea din enunt, nu stiu daca este chiar asa de clar!

2. Daca vrem insa sa dam un exemplu de o matrice C cu proprietatea din (celalalt) enunt, atunci este destul de simplu.

PS Problema in forma data este destul de cunoscuta. Partea care cred eu ca merita studiata mai in amanunt ar fi ce se intampla peste un corp oarecare, cu accent pe cazul caracteristicei pozitive.

Raspuns la prima remarca:

In legatura cu problema cunoscuta pe care am mentionat-o in postul anterior: http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=1986

Consider matricea "companion" \( C \) a polinomului \( X^p - 1 \). In link-ul dat de mine este prezentata o metoda de obtinere a unor matrice \( A,B \), stiindu-se ca \( AB-BA \) este o anume matrice data, avand toate elementele de pe diagonala egale cu \( 0 \). Cum \( C \) indeplineste aceasta conditie, \( A,B \) se pot gasi ca in link.

Tiberiu Popa wrote: In legatura cu problema binecunoscuta pe care am mentionat-o in postul anterior: http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=1986

Cand am dat cele doua link-uri in postul http://mateforum.ro/viewtopic.php?t=253 il vazusem si pe acesta, dar mi s-a parut (si mi se pare inca!) ca nu rezolva partea esentiala, si anume ca o matrice cu urma 0 este similara cu una cu diagonala nula.
(Se afirma fara demonstratie ca "A is unitarily (equivalent) to a matrix whose diagonal entries are all equal to 1/n.trA"). Din fericire matricea companion a polinomului \( X^p-1 \) este deja in forma dorita si intr-adevar putem cauta A, B ca acolo.