mateforum.ro

Fie \( A \in \mathcal{M}_n (\mathbb{C}) \) o matrice. Sa se arate ca \( \mbox{tr}(A)=0 \) daca si numai daca exista matricele \( X,Y\in\mathcal{M}_n (\mathbb{C}) \) astfel incat \( A=XY-YX \).

Se incepe prin a arata ca A este asemenea cu o matrice cu diagonala nula si apoi este usor dupa cum se vede si aici http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=86676

O rezolvare completa ar fi insa binevenita, fiindca nu este clar aratat pe mathlinks de ce o matrice A cu tr(A)=0 este similara cu una cu diagonala nula.

Sa mai adaug o problema care face pereche cu cea de mai sus:

Aratati ca orice matrice reala cu urma 0 se poate scrie sub forma \( XY – YX \), unde \( X \) este matrice reala simetrica si \( Y \) matrice reala cu urma 0.

(Este si pe mathlinks, dar mi s-a parut ca merita mentionata si aici in compania celei care a deschis topicul).

Daca \( A \) este de forma \( A=XY-YX \), atunci prin calcule simple
avem ca \( \tr(A)=0 \).
Reciproc, fie \( A\in M_{n}(\mathbb{C}) \), \( A\neq\alpha I_{n} \) si \( \tr(A)=0 \).
Vom arata, prin inductie, ca exista o matrice nesingulara \( S\in M_{n}(\mathbb{C}) \) astfel incat matricea \( S^{-1}AS \) are elementele de pe diagonala principala nule.
Din faptul ca \( A\neq\alpha I_{n} \) cu \( \alpha\neq 0 \), deducem ca exista un vector \( u\in\mathbb{C}^{n} \) astfel incat \( Au \) si \( u \) sa fie liniar independenti. Acum luam o baza a lui \( \mathbb{C}^{n} \) din care fac parte vectorii mentionati mai sus. Se deduce astfel ca matricea \( A \) este asemenea cu o matrice de forma
\( A\prime =\left(\begin{array}{cc}0 & P\\ Q & R \end{array}\right) \) unde evident \( \tr(A\prime )=\tr(R)=0 \). Presupunem ca \( R=S^{-1}R\prime S \) cu \( R\prime \) avand toate elementele de pe diagonala principala egale cu \( 0 \). Atunci toate elementele de pe diagonala principala ale matricei
\( A^{"}=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & S\\ \end{array}\right)^{-1}A\prime\left(\begin{array}{cc}1 & 0\\ 0 & S\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0 & PS \\ S^{-1}Q & S^{-1}PS \\ \end{array}\right) \)
sunt egale cu \( 0 \) si evident ca matricea \( A \) este asemenea cu \( A\prime \) care este asemenea cu \( A\prime \prime \). Prin urmare putem presupune ca este o matrice cu \( 0 \) pe diagonala principala.

Acum vom alege \( X \) o matrice cu elementele arbitrare, distincte doua cate doua, \( \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}\in\mathbb{C} \) si \( 0 \) in rest si \( Y=(y_{ij})_{i, j=1, \ldots n} \). Egalitatea \( A=XY-YX \) are loc pentru \( y_{ij}=\frac{\alpha_{ij}}{\alpha_{i}-\alpha_{j}} \) daca \( i\neq j \).

Cezar Lupu wrote:Din faptul ca \( A\neq\alpha I_{n} \) cu \( \alpha\neq 0 \), deducem ca exista un vector \( u\in\mathbb{C}^{n} \) astfel incat \( Au \) si \( u \) sa fie liniar independenti.

1. Nu mi se pare chiar evident ca este asa!
2. La clasa a XI-a elevii nu prea stiu ce sunt vectori "liniar independenti".

Cezar Lupu wrote:Fie \( A\in M_{n}(\mathbb{C}) \) cu \( tr(A)=0 \). Vom arata, prin inductie, ca exista o matrice nesingulara \( S\in M_{n}(\mathbb{C}) \) astfel incat matricea \( S^{-1}AS \) are elementele de pe diagonala principala nule.

Ideea este de a aduce (prin transformari elementare) elementele nenule de pe diagonala principala pe pozitia \( (1,1) \). Mai concret:

Presupunem ca exista \( i \) astfel incit \( a_{ii}\neq 0 \). Atunci va mai exista un indice \( j\neq i \) cu \( a_{jj}\neq 0 \). Daca se considera in locul lui A matricea \( P_{2j}(P_{1i}AP_{1i})P_{2j} \) (urma matricei nu se schimba prin asemanare), putem presupune ca \( i=1 \) si \( j=2 \), adica \( a_{11}\neq 0 \) si \( a_{22}\neq 0 \). Este evident ca nu este posibil ca toate elementele nenule de pe diagonala principala a matricei sa fie egale, deci putem presupune ca \( a_{11}\neq a_{22} \). Daca pe prima linie si pe prima coloana toate elementele, cu exceptia lui \( a_{11} \), sunt nule, consideram matricea \( T_{12}(1)AT_{12}(-1) \) care va avea pe pozitia \( (1,2) \) elementul \( a_{22}-a_{11}\neq 0 \), deci putem presupune ca matricea A are un element nenul pe prima linie sau pe prima coloana, de fapt chiar intr-una din pozitiile \( (1,2) \) sau \( (2,1) \). Sa-i zicem \( a \) acestui element. Matricea \( T_{21}(-a^{-1}a_{22})AT_{21}(a^{-1}a_{22}) \) va avea \( a_{11}+a_{22} \) pe pozitia \( (1,1) \) si \( 0 \) pe pozitia \( (2,2) \). Aplicam acum ipoteza de inductie.

(Solutia este prelucrata dupa cartea D. Fadeev, I. Sominski - Recueil d'exercices d'algebre superieure, Mir, Moscou 1977, si este evident ca merge mai general, pentru matrice cu elemente intr-un corp de caracteristica 0.)

Notatii
1. Pentru \( i\neq j \), \( P_{ij} \) este matricea obtinuta din \( I_n \) prin schimbarea liniilor i si j intre ele. Aceasta matrice este inversabila si inversa ei este tot \( P_{ij} \).
2. Pentru \( i\neq j \), \( T_{ij}(a) \) este matricea obtinuta din \( I_n \) prin adunarea la linia i a liniei j inmultita cu elementul a. Si aceasta este o matrice inversabila iar inversa ei este \( T_{ij}(-a) \).
(Aceste matrice se numesc matrice elementare si sunt foarte utile in algebra liniara.)