Page 1 of 1
Matrice similare
Posted: Wed Oct 10, 2007 5:54 pm
by maky
Fie \( A,B \in M_n(\mathbb{R}) \) doua matrice cu proprietatea ca exista \( P \in M_n(\mathbb{C}) \) inversabila astfel incat \( AP=PB \). Sa se arate ca exista o matrice \( Q \in M_n(\mathbb{R}) \) inversabila astfel incat \( AQ=QB \).
Re: Matrice similare
Posted: Fri Feb 08, 2008 10:44 am
by aleph
maky wrote:Fie \( A,B \in M_n(\mathbb{R}) \) doua matrice cu proprietatea ca exista \( P \in M_n(\mathbb{C}) \) inversabila astfel incat \( AP=PB \). Sa se arate ca exista o matrice \( Q \in M_n(\mathbb{R}) \) inversabila astfel incat \( AQ=QB \).
Fie
\( P_1,P_2 \in M_n(\mathbb{R}) \) cu
\( P = P_1+iP_2 \). Rezultă
\( AP_1=P_1B,\ AP_2 = P_2B \).
Vom putea alege
\( Q = P_1 + r P_2 \) cu
\( r \in \mathbb{R} \) dacă
\( \det(Q) \ne 0 \). Un
\( r \) care să realizeze acest lucru există, deoarece polinomul
\( p(x)=\det (P_1 + x P_2) \) nu este nul (
\( p(i)=\det(P) \ne 0 \)).
Cei "foarte motivaţi" pot găsi tratat cazul corpurilor generale în:
Roman S. - Advanced Linear Algebra. Springer 2008, theorem 7.20.