mateforum.ro

Sa se determine toate multimile \( A \) incluse in \( \mathbb{N}* \) cu proprietatea ca orice numar natural nenul se poate scrie in mod unic ca suma de elemente diferite din \( A \) (se accepta sume cu un singur termen).

pentru inceput sa aratam ca \( \lbrace2^k| k\in\mathbb{N}\rbrace \) are aceasta proprietate.

Orice numar are un echivalent in baza 2, iar la transformarea lui in baza 10 se va scrie ca \( \sum_{k=0}^n i\cdot 2^n \) cu \( i\in \lbrace0,1\rbrace \), adica orice numar se poate scrie ca o suma de elemente din aceasta multime.
Aceasta multime are \( \sum_k=1^{n+1} C_{n+1}^k=2^{n+1}-1 \) sume de elemente. Cum cea mai mica suma e 1, si cea mai mare e \( \sum_{k=0}^n=2^{n+1}-1 \), fiecare numar se scrie in exact un fel ca o suma de elemente din aceasta multime.



Fie \( a_i \) elementele unei multimi cu aceasta proprietate aranjate crescator.

Pentru scrierea oricarui numar mai mic ca \( a_k \) se pot folosi doar cele (k-1) elemente mai mici ca el din care se obtin \( 2^{k-1}-1 \) sume. Cum toate sumele sunt distincte, si acopera toata multimea numerelor naturale rezulta ca cele \( 2^{k-1}-1 \) sume sunt \( \lbrace1,2,3,...,2^{k-1}-1\rbrace \).

daca \( a_k\leq2^{k-1}-1 \) va exista un numar care se poate scrie ca 2 sume diferite.
daca \( a_k\geq2^{k-1}+1 \), \( 2^{k-1} \) nu se poate scrie ca o suma de elemente.

deci \( a_k=2^{k-1} \)