Page 1 of 1
Geometrie cu axe radicale
Posted: Sat Oct 25, 2008 8:21 pm
by Filip Chindea
Fie
\( ABC \) un triunghi ascutitunghic si
\( A_1B_1C_1 \) triunghiul sau median. Consideram cercurile
\( \omega_A = \gamma(A, BC) \),
\( \Gamma_A = \gamma(A_1, AA_1) \), specificate prin centru respectiv raza,
\( d_A \) axa radicala a
\( \omega_A \) si
\( \Gamma_A \) si constructiile analoage.
Aratati ca
\( d_A \cap d_B \cap d_C \) este nevida.
[
DMO 2008, Problema 2 ]
Posted: Sat Oct 25, 2008 11:02 pm
by mumble
O schita de solutie:
Notand \( A\prime=\omega_B\cap\omega_C \) se vede usor ca \( ABA\prime C \) este paralelogram si \( AA_1=A_1A\prime \)deci \( A\prime=\omega_B\cap\omega_C\cap\Gamma_A. \) Aceste 3 cercuri se mai taie o data in \( A\prime\prime \) simetricul lui \( A\prime \) fata de \( BC. \) Definim punctele \( B\prime,B\prime\prime,C\prime,C\prime\prime \)analog si se vede acum ca \( ABC \) este triunghiul median al lui \( \bigtriangleup A\prime B\prime C\prime \) iar \( A\prime A\prime\prime,B\prime B\prime\prime,C\prime C\prime\prime \)sunt inaltimi in \( \bigtriangleup A\prime B\prime C\prime \). Se verifica in final cu puterea punctului ca ortocentrul acestui triunghi se afla si pe cele 3 axe radicale.