mateforum.ro

Fie \( A\in M_{n}(\mathbb{R}) \) o matrice astfel incat \( A^{2}=O_{n} \). Sa se arate ca \( \det(A+I_{n})\geq 0 \).

Ideea mea este de a arata ca determinantul e 1 (fara a folosi notiunea de polinom minimal).

\( A^2=O\Rightarrow \) 0 este unica valoarea proprie a lui A. Deci polinomul caracteristic este det\( (A-XI_n)=(-1)^nX^n \). Deci det\( (A+I_n)=(-1)^{2n}=1 \).

\( \det (A+I) =\det(A^2+A+I)= \det(A-\epsilon I) \det( A- \epsilon^2 I)= \) \( \det(A-\epsilon I) \overline{\det(A-\epsilon I)}= |\det (A-\epsilon I)| ^2\geq 0 \)

\( \left(\frac{1}{2}A+I_n\right)^{2}=A+I_{n} \), trecem la determinanti si gata.