Alta ecuatie
Moderators: Laurian Filip, Filip Chindea, maky, Cosmin Pohoata
-
Octav Ganea
- Euclid
- Posts: 15
- Joined: Mon Oct 01, 2007 9:12 pm
Alta ecuatie
Fie n un nr natural cu 16 divizori: \( 1=d_1 < d_2 <.... <d_{16}=n \) astfel incat \( d_6=18 \)si \( d_9-d_8=17 \). Sa se afle n
-
Laurian Filip
- Site Admin
- Posts: 344
- Joined: Sun Nov 25, 2007 2:34 am
- Location: Bucuresti/Arad
- Contact:
\( d_6=18 \) rezulta \( n \) este divizibil cu \( 18 \)
cum \( (18,17)=1 \) si \( n=d_8\cdot d_9 \) si \( d_8=d_9-17 \)
sau \( d_8=18a \) sau \( d_9=18a \)
Cazul I
\( d_8=18a \)
\( d_9=18a+17 \)
\( n=d_9\cdot\ d_8=18a(18a+17)=3^2{2}a(18a+17) \)
evident \( 18a+17 \) are minim un divizor prim.
Din formula pentru numarul de divizori si stiind ca numarul are \( 2^4 \) divizori rezulta ca puterea lui 3 este impara.
cum \( 2(18a+17) \) si 3 sunt prime intre ele inseamna ca \( a=3^q{k} \), cu \( q \) impar.
Daca \( a \) are si alti divizori in afar de \( 3 \), sau daca \( q>1 \) atunci n are mai mult de \( 16 \) divizori. Deci \( a=3 \).
\( n=18\cdot3\cdot71=3834 \)
Cazul II
\( d_9=18a \)
\( d_8=18a-17 \)
\( n=3^2{2}a(18a-17) \)
Analog ajungem la \( a=3 \)
Cum \( 37 \) este prim rezulta \( n=9\cdot2\cdot3\cdot37=1998 \) este solutie.
cum \( (18,17)=1 \) si \( n=d_8\cdot d_9 \) si \( d_8=d_9-17 \)
sau \( d_8=18a \) sau \( d_9=18a \)
Cazul I
\( d_8=18a \)
\( d_9=18a+17 \)
\( n=d_9\cdot\ d_8=18a(18a+17)=3^2{2}a(18a+17) \)
evident \( 18a+17 \) are minim un divizor prim.
Din formula pentru numarul de divizori si stiind ca numarul are \( 2^4 \) divizori rezulta ca puterea lui 3 este impara.
cum \( 2(18a+17) \) si 3 sunt prime intre ele inseamna ca \( a=3^q{k} \), cu \( q \) impar.
Daca \( a \) are si alti divizori in afar de \( 3 \), sau daca \( q>1 \) atunci n are mai mult de \( 16 \) divizori. Deci \( a=3 \).
\( n=18\cdot3\cdot71=3834 \)
Cazul II
\( d_9=18a \)
\( d_8=18a-17 \)
\( n=3^2{2}a(18a-17) \)
Analog ajungem la \( a=3 \)
Cum \( 37 \) este prim rezulta \( n=9\cdot2\cdot3\cdot37=1998 \) este solutie.