mateforum.ro

Construiti o functie infinit derivabila (pe R) care nu este analitica in niciun punct (i.e. a carei serie Taylor nu converge in nicio vecinatate a niciunui punct).

Exista un exemplu de functie care este indefinit derivabila si care nu este analitica intr-un punct, mai precis in \( 0 \), si este urmatoarea:

\( f(x)=\left{\begin{array}{c}
e^{-\frac{1}{x^2}},\ x\geq 0\\
0,\ x< 0\end{array} \)

Acest exemplu poate fi gasit si in cartea lui Stein si Schakarki de Analiza Complexa. Acum, pentru a construi o functie care sa respecte cerintele enuntului din postul de mai sus, vom defini mai intai o functie care are "probleme analitice" in \( 0 \) si \( 1 \) care seamana destul de mult cu cea definita mai sus, i.e.

\( \varphi(x)=\left{\begin{array}{c}
e^{-\frac{1}{x^2}}e^{\frac{1}{(x-1)^2}},\ 0<x<1\\
0,\ x\geq 1\end{array} \)

Avem \( \varphi^{(k)}(0)=\varphi^{(k)}(1)=0 \) pentru \( k=1,2, \ldots \). Atunci functia definita in felul urmator

\( \zeta(x)=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i!}\varphi(2^i\{x\}) \) este indefinit derivabila si nicaieri analitica, unde \( \{x\} \) reprezinta partea fractionara a lui \( x \).