mateforum.ro

Rezolvati in \( \mathcal{M}_2(\mathbb{Z}) \) sistemul:

\( \left\{ \begin X(X+Y)X=I_2 \\ Y(X+Y)Y=I_2 \right \)

\( X^{-1}X(X+Y)X=X^{-1} \Rightarrow (X+Y)X=X^{-1} \) si \( X(X+Y)XX^{-1}=X^{-1} \Rightarrow X(X+Y)=X^{-1} \Rightarrow (X+Y)X=X(X+Y) \)
Inseamna ca \( (X+Y)X=X(X+Y) \) \( \Rightarrow X^2+YX=X^2+XY \Rightarrow YX=XY \Rightarrow X, Y \) comuta.
Din \( I_2=X^3+XYX=X^3+YX^2 \), \( I_2=Y^3+YXY \) si din faptul ca matricele comuta rezulta urmatoarele relatii:
\( X^3-Y^3+YX^2-YXY=O_2 \Rightarrow (X-Y)(X^2+XY+Y^2)+YX(X-Y)=O_2 \Rightarrow (X-Y)(X^2+2XY+Y^2)=O_2 \)
\( \Rightarrow (X-Y)(X+Y)^2=O_2 \)
Din relatiile initiale \( X(X+Y)X=I_2 \) si \( Y(X+Y)Y=I_2 \), folosind formula \( \det(XY)=\det(X)\det(Y) \) obtinem ca \( {\det(X)}^2 \cdot \det(X+Y)=1 \Rightarrow \det(X+Y)=1 \).
Din \( (X-Y)(X+Y)^2=O_2 \) obtinem ca \( \det(X-Y)=0 \).
Din cele doua relatii, \( \det(X+Y)=1 \) si \( \det(X-Y)=0 \), dupa adunarea lor, va rezulta ca \( 2(\det(X)+\det(Y))=1 \), de unde \( \det(X)+\det(Y)=\frac {1} {2} \) ceea ce este imposibil, deoarece matricele \( X \) si \( Y \) sunt din \( M_2(\mathbb{Z}) \).

Matricele X si Y comuta.

De asemenea \( X+Y=X^{-2} \) si \( X+Y=Y^{-2} \) deci \( X^2=Y^2 \) sau \( (X-Y)(X+Y)=O_2 \) deci X=Y (deoarece X+Y este inversabila).

De aici \( 2X^3=I_2 \) \( \Longrightarrow 4(\det X)^3=1 \Longrightarrow \det X=\frac{1}{\sqrt[3]{4}}\notin\mathbb{Z} \).

\( (X+Y)(X-Y)=O_2 \) nu implica faptul ca una dintre paranteze este egala cu \( O_2 \).

\( \(X+Y\)\(X-Y\)=O_2 \) nu implica faptul ca una dintre paranteze este egala cu \( O_2 \).

Ba da! deoarece \( X+Y \) este inversabila. Inmultind egalitatea cu inversa acesteia obtinem \( X-Y=O_2 \).