mateforum.ro

Fie \( A,B \in M_{n}(\mathbb{C}) \) astfel incat \( A+B=2AB-BA \). Aratati ca \( (AB-BA)^n=O_{n} \).
Mihai Opincariu, Gazeta Matematica seria B 5-6/2008

Notand A=X+I, B=Y+I si inlocuind in enunt obtinem I=2XY-YX.

Folosind relatia \( \tr(XY)=\tr(YX) \) aratam prin inductie dupa k ca \( \tr(XY)^k=n \) pentru orice k natural si de aici \( \tr(XY-YX)^k=\tr(I-XY)^k=n(\sum_{i=0}^{k} C_k^i(-1)^i)=0 \) pentru orice k natural nenul.

Asadar dintr-o propozitie cunoscuta (\( \tr A^m=0 \) pentru orice m natural nenul implica \( A^n=O_n \)), rezulta \( (AB-BA)^n=O_n \).

aratam prin inductie dupa k ca \( \tr(XY)^k=n \)

Cazul \( k=0 \) este evident.

Presupunem \( \tr(XY)^i=n \), pentru i=0,1,2,...,k. Ridicand la puterea k+1 avem \( (2XY)^{k+1}=(I+YX)^{k+1} \) si aplicand urma (\( \tr(XY)^{k+1}=\alpha \)) avem \( 2^{k+1}\alpha=n(\sum_{i=0}^kC_{k+1}^i)+\alpha \) si de aici concluzia.

multumesc pt referinta, chiar vroiam sa citesc asa ceva, sper sa o gasesc.