mateforum.ro

Determinati toate functiile \( f:\mathbb{N}^*\to \mathbb{N}^* \) astfel incat pentru orice \( m,n \in \mathbb{N}^* \) sa avem \( (f(m))^2+f(n)|(m^2+n)^2 \).

TST Romania 2005

Schita de solutie:

Aratati \( f(1) = 1 \). Dupa aceea puneti \( m = 1, n = p - 1 \), cu \( p \) prim, de unde \( f(p - 1) = p - 1 \) pentru orice \( p \) prim suficient de mare. Concluzionati prin faptul ca daca \( f \) este identica pe o submultime infinita a lui \( \mathbb{N}^{\ast} \), atunci \( f \equiv \mathrm{id} \).